经济数学基础综合练习及参考答案第二部分 积分学一、单项选择题1.在切线斜率为2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( ). A .y = x 2 + 3 B .y = x 2 + 4 C .y = 2x + 2 D .y = 4x 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2,则k =( ).A .1B .-1C .0D .21 3.下列等式不成立的是().A .)d(e d e xxx = B .)d(cos d sin x x x =- C .x x x d d 21= D .)1d(d ln x x x =4.若c x x f x +-=-⎰2ed )(,则)(x f '=( ).A . 2e x-- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--5. =-⎰)d(e x x ( ).A .c x x+-e B .c x x x ++--e eC .c x x+--eD .c x x x +---e e6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(,则f (x ) =( ).A .x 1 B .-x 1 C .21x D .-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数,则下列等式成立的是( ).A .)(d )(x F x x f xa =⎰ B .)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰C .)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D .)()(d )(a F b F x x f b a-='⎰8.下列定积分中积分值为0的是( ).A .x xx d 2e e 11⎰--- B .x x x d 2e e 11⎰--+ C .x x x d )cos (3⎰-+ππD .x x x d )sin (2⎰-+ππ9.下列无穷积分中收敛的是( ).A .⎰∞+1d ln x x B .⎰∞+0d e x xC .⎰∞+12d 1x x D .⎰∞+13d 1x x10.设R '(q )=100-4q ,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R 的改变量是( ).A .-550B .-350C .350D .以上都不对 11.下列微分方程中,( )是线性微分方程. A .y y yx '=+ln 2B .xxy y y e 2=+'C .yy x y e ='+'' D .x y y x y xln e sin ='-''12.微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是( ).A . 4B . 3C . 2D . 1 二、填空题1.=⎰-x x d e d 2. 2.函数x x f 2sin )(=的原函数是.3.若c x x x f ++=⎰2)1(d )(,则=)(x f .4.若c x F x x f +=⎰)(d )(,则x f xx)d e (e --⎰= .5.=+⎰e12dx )1ln(d dx x. 6.=+⎰-1122d )1(x x x. 7.无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是.(判别其敛散性)8.设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ,且R (0) = 0,则平均收入函数为.9. 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程.10.微分方程2x y ='的通解是.三、计算题⒈⎰x x x d 1sin22.⎰x x xd 23.⎰x x x d sin 4.⎰+x x x d 1)ln ( 5.x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+ 6.x xx d ln e 1⎰7.2e 1x ⎰8.x x x d 2cos 2π0⎰9.x x d )1ln(1e 0⎰-+10.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解. 11.求微分方程0e 32=+'+y y xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解.12.求微分方程x xyy ln =-'满足 11==x y 的特解.13.求微分方程y y x y ln tan ='的通解.14.求微分方程xxy y x ln =-'的通解.15.求微分方程y x y -='2的通解.16.求微分方程x x y y x sin =+'的通解.四、应用题1.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.2.已知某产品的边际成本C '(x )=2(元/件),固定成本为0,边际收益R '(x )=12-0.02x ,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?3.生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台),边际收入为R '(x )=100-2x (万元/百台),其中x 为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?4.已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台),x 为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.5.设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元),其中x 为产量,单位:百吨.销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='(万元/百吨),求:(1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?试题答案一、单项选择题1. A 2.A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1. x x d e2- 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x+--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 239. 2 10. c x y +=33 三、计算题⒈ 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin22.解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 23.解c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cosd cos cos d sin4.解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122 5.解x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(xx =3ln 03)e 1(31x +=356 6.解)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e1e1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰e 24d 2e 2e 1-=-=⎰x x7.解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8.解x x x d 2cos 2⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 9.解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x =e ln =1解法二 令1+=x u ,则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u10.解 因为 x x P 1)(=,1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x cx x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y , 得 1=c 所以,特解为 xx x y 1243++=11.解 将方程分离变量:x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入,得 c +-=---33e 31e 21,c =3e 61--所以,特解为:33e e 2e32--+=x y12.解:方程两端乘以x1,得 x xx y x y ln 2=-' 即x xxy ln )(=' 两边求积分,得c x x x x x x x y +===⎰⎰2ln )(lnd ln d ln 2 通解为: cx xx y +=2ln 2 由11==x y ,得1=c所以,满足初始条件的特解为:x xx y +=2ln 2 13.解 将原方程分离变量x x yy yd cot ln d =两端积分得 lnln y = ln C sin x 通解为 y = e C sin x14. 解 将原方程化为:xy x y ln 11=-',它是一阶线性微分方程, x x P 1)(-=,xx Q ln 1)(=用公式 ()d ()d e[()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x xx x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x+=⎰- ]d ln 1[c x xx x +=⎰)ln (ln c x x +=15.解 在微分方程y x y -='2中,x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y xx x x +=+⎰⎰=⎰⎰--)e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=16.解:因为xx P 1)(=,x x Q sin )(=,由通解公式得)d esin (e d 1d 1c x x y xx x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (eln ln c x x x x+⎰- =)d sin (1c x x x x+⎰=)sin cos (1c x x x x++-四、应用题1.解 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 ⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x+= 100(万元)又 xc x x C x C x ⎰+'=d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C , 解得6=x .x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2.解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0,得x = 500x = 500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值. 所以,当产量为500件时,利润最大. 当产量由500件增加至550件时,利润改变量为 5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰=500 - 525 = - 25 (元)即利润将减少25元.3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10(百台)又x = 10是L (x )的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x = 10是L (x )的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大. 又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少20万元.4.解:因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时,C (0) = 18,得 c =18 即 C (x )=18322+-x x 又平均成本函数为 xx x x C x A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='xx A , 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5.解:(1) 因为边际成本为 1)(='x C ,边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ,得x = 7由该题实际意义可知,x = 7为利润函数L (x )的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为 87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 (万元)即利润将减少1万元.经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题1.函数()1lg +=x xy 的定义域是( ).A .1->xB .0≠xC .0>xD .1->x 且0≠x2.若函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)2(x f 的定义域是( ). A .1],0[ B .)1,(-∞ C .]0,(-∞ D )0,(-∞3.下列各函数对中,()中的两个函数相等.A .2)()(x x f =,x x g =)( B .11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C .2ln x y =,x x g ln 2)(= D .x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g4.设11)(+=xx f ,则))((x f f =( ).A .11++x xB .x x +1C .111++xD .x+11 5.下列函数中为奇函数的是( ).A .x x y -=2B .xxy -+=e e C .11ln+-=x x y D .x x y sin = 6.下列函数中,()不是基本初等函数.A .102=y B .x y )21(= C .)1ln(-=x y D .31xy = 7.下列结论中,( )是正确的. A .基本初等函数都是单调函数 B .偶函数的图形关于坐标原点对称 C .奇函数的图形关于坐标原点对称 D .周期函数都是有界函数8. 当x →0时,下列变量中( )是无穷大量.A .001.0xB . x x 21+C . xD . x -29. 已知1tan )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量.A . x →0B . 1→xC . -∞→xD . +∞→x10.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( ).A .-2B .-1C .1D .211. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处( ).A . 左连续B . 右连续C . 连续D . 左右皆不连续12.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( ). A .21- B .21 C .3)1(21+x D .3)1(21+-x13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为( ).A . y = xB . y = 2xC . y = 21x D . y = -x14.若函数x xf =)1(,则)(x f '=( ).A .21xB .-21xC .x 1D .-x 115.若x x x f cos )(=,则='')(x f ( ).A .x x x sin cos +B .x x x sin cos -C .x x x cos sin 2+D .x x x cos sin 2-- 16.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是( ).A .sin xB .e xC .x 2D .3 - x 17.下列结论正确的有( ).A .x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0B .x 0是f (x )的极值点,则x 0必是f (x )的驻点C .若f '(x 0) = 0,则x 0必是f (x )的极值点D .使)(x f '不存在的点x 0,一定是f (x )的极值点18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为E p =( ).A .p p32- B .--pp32 C .32-ppD .--32pp二、填空题1.函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是 . 2.函数x x x f --+=21)5ln()(的定义域是. 3.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f. 4.设函数1)(2-=u u f ,xx u 1)(=,则=))2((u f.5.设21010)(xx x f -+=,则函数的图形关于 对称.6.已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ,则当产量q = 50时,该产品的平均成本为 .7.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ,其中p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R (q ) =. 8. =+∞→xxx x sin lim.9.已知x xx f sin 1)(-=,当 时,)(x f 为无穷小量.10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在),(∞+-∞内连续,则=a .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是 .12.函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是 .13.曲线y =)1,1(处的切线斜率是.14.函数y = x 2 + 1的单调增加区间为.15.已知x x f 2ln )(=,则])2(['f = . 16.函数y x =-312()的驻点是 . 17.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=,则需求弹性为E p =.18.已知需求函数为p q 32320-=,其中p 为价格,则需求弹性E p = .三、计算题1.423lim 222-+-→x x x x 2.231lim 21+--→x x x x 3.0x → 4.2343lim sin(3)x x x x →-+-5.2)1tan(lim 21-+-→x x x x 6.))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7.已知y x x xcos 2-=,求)(x y ' .8.已知)(x f x x xln sin 2+=,求)(x f ' .9.已知xy cos 25=,求)2π(y ';10.已知y =32ln x ,求y d . 11.设x y x5sin cos e+=,求y d .12.设xx y -+=2tan 3,求y d .13.已知2sin 2cos x y x-=,求)(x y ' . 14.已知xx y 53eln -+=,求)(x y ' .15.由方程2e e)1ln(=++xyx y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '. 16.由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.17.设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定,求0d d =x x y.18.由方程x y x y=++e )cos(确定y 是x 的隐函数,求y d .四、应用题1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为:x x x C 625.0100)(2++=(万元),求:(1)当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当产量x 为多少时,平均成本最小?2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q p =-100010(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数p q 42000-=,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少?4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q (元/件),试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少?5.某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C (元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?6.已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102(万元).问:要使平均成本最少,应生产多少件产品?试题答案二、单项选择题1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.C 8. B 9. A 10. C 11. B 12.A 13. A 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 二、填空题1.[-5,2]2. (-5, 2 )3. 62-x 4.43-5. y 轴6.3.67. 45q – 0.25q 28. 19. 0→x 10. 2 11.0x = 12.)1,(--∞,)2,1(-,),2(∞+ 13. (1)0.5y '= 14.(0, +∞) 15. 0 16.x =1 17.2p- 18. 10-p p三、极限与微分计算题1.解 423lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1lim 2+-→x x x = 412.解:231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x =21)1)(2(1lim1-=+-→x x x 3.解x →=0x →=xxx x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 44.解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---= 333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 2 5.解 )1)(2()1tan(lim 2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim 21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯=6.解 ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x x x --++-∞→ =2323)2(65-=⨯-7.解:y '(x )=)cos 2('-x x x=2cos sin 2ln 2xx x x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x++8.解 xx x x f xx 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='9.解 因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x xx x y -='='='所以 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y 10.解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==-所以 x xxy d ln 32d 3=11.解 因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e 4sin -=所以 x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -= 12.解 因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x2ln 2cos 3322x x x --=所以 x x x y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13.解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14.解:)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx x x525e ln 3--=15.解 在方程等号两边对x 求导,得)e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y x yx y xyxyxy y x y y x x e 1]e )1[ln(-+-='++故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy xyx x x y x y y +++++-='16.解 对方程两边同时求导,得0e e cos ='++'y x y y y yy y y x y e )e (cos -='+)(x y '=y yx y e cos e +-.17.解:方程两边对x 求导,得 y x y y y '+='e ey yx y e 1e -='当0=x 时,1=y所以,0d d =x x ye e 01e 11=⨯-=18.解 在方程等号两边对x 求导,得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin(1)]sin(e [y x y y x y ++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故 x y x y x y y d )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题 1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ,65.0)(+='x x C 所以,1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C , 116105.0)10(=+⨯='C(2)令 025.0100)(2=+-='xx C ,得20=x (20-=x 舍去) 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当=x 20时,平均成本最小.2.解 (1)成本函数C q ()= 60q +2000.因为 q p =-100010,即p q =-100110, 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -. (2)因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0,即40- 0.2q = 0,得q = 200,它是L q ()在其定义域内的唯一驻点.所以,q = 200是利润函数L q ()的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.3.解 (1)C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )=250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000,且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300元时,利润最大.(2)最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L (元).4.解 (1)由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-=',令004.010=-='q L ,解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,(2)最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L (元)5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ (q >0) 'C q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q令'C q ()=0,即0598002.-q=0,得q 1=140,q 2= -140(舍去). q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C ()140=05140369800140.⨯++=176 (元/件) 6.解 (1) 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0,即-+=25011002q ,得q 1=50,q 2=-50(舍去), q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点.所以,q 1=50是C q ()的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.。