[解]： iddeim ieim immiem
所以eim是算符 i d 的本征函数，本征 m值。为
d 而i d cosm i(sinm)mimsinm ccosm
d 所以cosm不是算i符d 的本征函数。
d
[1.16] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
n(x)
2sinnx
ll
n1,2,3,...
d e ax 2 2 ax 2 e ax 2 4 a 2 x 3 e ax 2 dx
2 axe ax 2 4 axe ax 2 4 a 2 x 3 e ax 2 4 a 2 x 3 e ax 2
6 axe ax 2
6a
因此，本征值为 6a 。
[1.13] 下列函数哪几个是算符 d 2 的本征函数？若是，
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物 理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck
常数。根据上述两式及力学公式： pmv
知，1，2和4三步都是正确的。
微粒波的波长服从下式： u/v
u 式中， 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动
速度，但3式中用了 /v ，显然是错的。
在4式中， Ehv 无疑是正确的，这里的E
8 2m
d2 dx2
2 l
sin
nx
l
h2
8 2 m
d dx
2 l
n l
cos
nx l
h2 8 2 m
2 n n sin n x
l ll
l
h 2 n 2 2 8 2 m l 2
n 2h 2 8ml 2
n(x)
2 sin n x ll
即
En
n2h2 8ml 2
将动量平方的算符
l 0
2 l
sinnl x
x
2 l
sin
nl xdx
2 l xsin2 nxdx 2 l x1cos2nxdx
l0
l l0
2
1x2 l l xsin2nxl l
[1.12]
xeax2
是算符
d2 dx2
4a2 x2
的本征函数，求本征值。
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得：
d2 (
4 a 2 x 2 ) ( d 2
4 a 2 x 2 ) xe ax 2
dx 2
dx 2
d 2 xe ax 2 4 a 2 x 2 ( xe ax 2 ) dx 2
2
p x 作用于波函数，所得常数即为
p
2 x
：
p 2 xn(x)4h 22dd22x 2 lsin nlxLeabharlann n2h2 4l 2n
(x)
即
p
2 x
n2h2 4l 2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
ETV T
1 2m
px2
1 n2h2 2m 4l 2
n2h2 8ml 2
若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： ① 解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然 得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云 编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。 若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变
分法的思路，选 xlx2 为变分函数，用式：
E * H d *d
进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132 倍。
② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱
中波粒长子的的整边数界倍条，件即：n0 nl0 ，箱长应该等于半
l n 2
将此式代入de
Broglie
关系式，得：
是微粒的总能量，但5式中 E 1 mv2 仅仅是微粒 2
的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错 的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。
[1.9] 电 视 机 显 像 管 中 运 动 的 电 子 ， 假 定 加 速 电 压 为
1000V，电子运动速度的不确v定度△ 为速度的10%，判
断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
2 cos
x,2 cos
x是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx 2
x 3 6 x cx 3 , x 3不是
d 2 的本征函数； dx 2
d2 dx 2
(sin
x cos
x)
(sin
x cos
x ),
sin
x
cos
x是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1。
若[是1.1，4]求e出im其和 本c征o值m s。对算i符 dd是 否 为 本 征 函 数 ？
求出本征值。
dx 2
e x ,six , n 2 co x ,x s 3 ,six n co xs
[解]：
d2 dx 2
ex
1
e x , ex是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx 2
sin
x
1 sin
x, sin
x是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx 2
2 cos
x
式中 l是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。 计算：
（a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用 下列两种方法计算粒子的能量：
①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能
量：
Hn (x)
h2
[解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标 的不确定度为：
x h
h
h
m m 2eV/m10% 2meV10%
6.6261034Js10
29.1091031kg1.6021019C103V
3.881010m
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的 袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼 睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视 机荧光屏上成像无影响。
结构化学习题解答
---《结构化学基础》 北京大学出版社
[1.7] 对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导：
1 2 h3hv 4 E51
m vp mv v2
结果得出的结论。错在何处？说明理由。
[解]：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一 和相互制约可由下列关系式表达：
Ehv ph/
p
h
nh
2l
将此式代入粒子能量的一般表达式，得：
ETVT21mp221mn2lh28nm 2h22l
可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n,m及 l 等
的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。
（b）由于 xn(x)cn(x),x 无本征值，
x 0ln*xxnxdx
只能求粒子坐标的平均值：