即
e
得
ikna
i
n
3 kna 2s n π 2
2s k a 3 2 π
所以
s
0,1,2...

（3）
ψ k x a
f x a la f x l 1 a
l l

a i a k x i kx A 4J e 2 e 2

Es
at
k ya k za cos cos 2 2
E s A 8Jcos
at
k xa 2
cos
k ya 2
cos
k za 2
由余弦函数的性质，用观察法即可断定， k x k y k z 0 时， 当 能带中的能量取最小值
ik R n at E k Es A J e , R n 是最近邻格矢

n
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0）， 则8个 最近邻格点的坐标为
a a a , , 2 2 2
将上述8组坐标代入能带的表示式，得
ik R n at E k Esmω b
5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带 宽度。 解： 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示 式为
E g 2 Vn
其中 V n 是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式
Vn 1 a

a 2 a 2
V x e
i
2π a
3 2 a
2
2π 2π a 2 a 3 b1 Ω Ω 2π 2π a 3 a 1 b2 Ω Ω
3 Ω 由 Ω a 1 a 2 a 3 其中
给出。
所以
2π 3 1 b2 i j a 3 3 2π 3 1 b1 i j a 3 3
基矢 a 1 , a 2
o
x
y
a2
a1
a
可由下式给出
3 3 a2 ai aj 2 2 a1 3 ai aj 2 2 3
在二维晶格下，取
a3 k
，可得到倒格基矢
3 3 ai aj 2 2 3 3 ai aj 2 2

5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
k ya k za k xa at E k E s A 8J cos cos cos 2 2 2

并求能带宽度。
用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 解：
的相互作用时，其能带的表示式为
1
i
aα
1 Nα
e
a
α x na
e
2πn i k x na a

dx
Φ
jk

e
n
ikna
e
α x na
若只取一项，则
x 1 Na e ikx 1 α e Na a α x na e
ik x na
0
dx e n
电子基态波函数为 x
at
1 α
e
α x
, α 为正的常数。
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数； （2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数 的性质； （3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及 能量的特征。 解： （1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
电子在周期场中得势能
1 2 2 m ω b x na V x 2 0


2

当 na b x na b 当 n - 1 a b x na b
且 a 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
b2
ΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙΙ
根据倒格基矢就可以
画出个倒格点，从而
画出布里渊区如图。 当每个原子有2个电子 时，则二维晶格的价 电子面密度为


1 Nα
e
n
i k na
e
α x na
（2） 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为
x
1 NΩ
e
i k k i r


M
μ ij Φ
j1
at j
j, k k i
r
μ ij δ k , k k
Φ
jk
1
ψ
at

k, r
1 N
e
Rl
ik Rl
α
at

k Rl

一维晶体情况下，晶格常数 a ，R l na
所以
ψ k, x


1 N
e
n
i k na
α x na
at

又
x
at
1 α
e
α x
得
ψ k, x
o 2N 2 g(k ) 16 N ( A ) * A
当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为
2N

kF 0
2 g k 2 kdk 16 N k F
所以
kF 1 8
1/2
0 .2 A
o
1
2 10
E min E 0 A 8J
当 k x 1 a , k y 1 a , k z 1 a 时， 能量取最大值
E max E 0 A 8J
因而能带的宽度为
ΔE E max E min 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的
nx
dx
求得。第一禁带宽度为
E g1 2 V 1 2 1 a

a 2 a 2
V x e
i
2π a
x
dx
2
1 4b

b b
mω 2 mω 2
2
b
2
x e
2

i
2π a
x
dx
2 2
2
1 4b

b b
2
8m ω b π 2 2 b x cos x dx 3 2b π
Bi
的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图)，这
是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 其结果如图所示。
ky
kx
（3） 设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中 便有2N个状态。简约布里渊区的面积
A
*
* 1 o 2 * a b ( A) 8
而状态密度
倒格子基矢为
* a * b
1
o
i j
2 A 1
o
4 A
* * 以 a ,b
ky
B2 A2
为基矢构成的倒格子
B3
b

B1 A1
如图6-11所示,图中“。”
A3
o
代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。 第一区
A4 B4
a

kx
第二区
（2） 取任意倒格点o作为原点，由原点至其最近邻 A i 、次近邻
x O a 2a 3a 如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可，于是得
V 1 a

1
a 2
a 2
V x dx
1 4b

2b
2b
V x dx

4b

b
1 2
b
mω
2
b
2
x
2
dx

mω 8b
2
1 3 2 b x x 3
2 2

第二禁带宽度为
E g2 2 V 2 2 2 1 4b 2 1 4b 1 a

2
a 2 a 2 2
V x e
i
4π a
x
dx
π b x

b b
mω
b
2
x e
2

i
dx
2 2

b b
mω 2
2
mω b π 2 2 b x cos x dx 2 π b
μ ij δ
1 Na
e
i k ki x

M
μ ij Φ
j1
at j
j, k k i
k , k k i
1 a

a

x
na e
i k k i
dx
此处
x
at
1 α
e
α x
μ ij δ k , k k
Es
at
a i k x k y i a k x k y k za k za 2 2 cos e cos e 2 2 A 2J a a i k x k y i k x k y k za k za 2 2 cos e cos e 2 2
（ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。 ir Rn 解： 由式 ψ k r Rn e ψ k r