互逆命题 或_________, 互否命题 其真假性没有关系. ②两个命题为_________
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) ) )
(2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( 【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系.
原命题：若a>b，则a+c>b+c真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b真
题的真假没有关系。
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论
和条件，这两个命题就叫做互逆命题。其中一个叫做
原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
原命题：若p，则q
它的逆命题：若q，则p.
例如： 原命题： 若a>b，则a+c>b+c . 它的逆命题：若a+c>b+c，则a>b.
什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件
“正难则反”的处理原则：在证明某一个命题的真假性有 困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证 明原命题为真(假)命题.
【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题 . 【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函 数,a,b∈R,若a+b<0, 则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
类型二
等价命题的应用
【典例2】
(1)命题:“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2
≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题是 或“假”). (2)证明:如果p2+q2=2,则p+q≤2. 命题(填“真”
【自主解答】(1)先判断原命题的真假.
因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,所以相 应二次方程的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,所以a< 7 <2.
假 真
原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边 假
二.四种命题的关系
3.互为逆否命题的真假关系
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。 原命题和逆
原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真
真
否命题总是 同真同假。
【知识拓展】等价命题的证法与反证法 在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利 用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是 把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛盾, 从而得出假设不成立.
【题型示范】
类型一
四种命题的相互关系
)
【典例1】 (1)若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则p是r的( A.逆命题 B.否命题
逆否命题： 若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
一.四种命题的概念
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否命题、
逆否命题。 1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。
四种命题及四种命题间的相互关系
一.四种命题的概念
（1）同位角相等 ， 两直线平行。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 （3）同位角不相等，两直线不平行 （4）两直线不平行，同位角不相等
请观察上面命题（2）、（3）、（4）中条件和结论
与命题（1）中的条件和结论有什么关系？
四种命题的概念

什么叫互逆命题？
假 真
(填“真”或
命题.(填
若a2≤b2则a≤b ,
假命题
(填“真命题”或“假命题”).
【要点探究】 知识点 四种命题间的关系
对四种命题相互关系的三点认识 (1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其 逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互 否”“互为逆否”具有对称性.
(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,有两
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。 真 原命题：若a>b，则ac2>bc2 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b
假 假
原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。假 逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。 假
【审题】抓信息,找思路
【解题】明步骤,得高分
【类题试解】已知命题“对于任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”是真命 题,求实数a的取值范围. 【解析】命题“对于任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”等价于“对于任 意x∈R,x2+ax+1≥0成立”是真命题. 由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,由二次函数的图象易 知:Δ=a2-4≤0, 解得:-2≤a≤2. 所以实数a的取值范围是[-2,2].
4
所以原命题为真命题. 又因为原命题和它的逆否命题是等价命题 . 所以此命题的逆否命题为真命题. 答案:真
(2)证明:如果p2+q2=2,则p+q≤2. 证明：该命题的逆否命题为:若p+q>2,则p2+q2≠2. 由基本不等式可知：p2+q2≥
1 (p+q)2. 2
因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2. 即p+q>2时,p2+q2≠2成立. 所以如果p2+q2=2,则p+q≤2成立.
二.四种命题的关系
2.互否命题的真假关系
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
真 真
原命题的真假和否命 题的真假没有关系。
假
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。真 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂 原命题：若直。 a>b，则ac2>bc2 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
原命题：若p，则q，它的否命题：若﹁q，则﹁p.
例如： 原命题： 若a>b，则a+c>b+c . 它的否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.
一.四种命题的概念
原命题： 若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。
逆命题： 若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 否命题： 若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。
C.逆否命题
D.以上判断都不对
)
(2)命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是 ( A.若q不正确,则p不正确 C.若p正确,则q不正确 B.若q不正确,则p正确 D.若p正确,则q正确
【解答】(1)选C.
因为命题p与q的条件与结论交换,命题q的条件与结论分别是r
的条件与结论的否定.
所以p与r的条件与结论既交换又否定,故选C.
由a+b<0,则a<-b,b<-a, 又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a)，所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).
即逆否命题为真命题， 所以原命题为真命题.
【规范解答】由等价命题求参数的取值范围 【典例】命题:对任意x∈R,ax2-2ax-3>0恒不成立是真命 题,求实数a的取值范围.
二.四种命题的关系
4.否命题和逆命题的真假关系
观察下列命题的真假，并总结规律。
否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真
逆命题和否 命题总是同 真同假。
否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂 假 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 直。 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2 真 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假 形。
(2)错误.两个命题为互否命题,它们的真假性没有关系,但也可
能相同,故此说法错误. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)× (3)√
2.请把正确的答案写在横线上 (1)命题“若x2≠1,则x≠1”的否命题是 “假”)命题. (2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 “真”或“假”) (3)命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题为 其真假情况为