1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题第17讲 平面向量学习目标教学内容1．（1）既有 、又有 的量，叫做向量．（2）向量的 也叫向量的模（或向量的长度）——它是一个 ． （3）零向量：大小为 ，方向 的向量；记作____ ____． 2．（1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量． （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量． （3）方向 的两个向量叫做平行向量． 3．向量的运算：（1）向量加法、减法的三角形法则：AB BC +=u u u r u u u r _____________；AC BC -=u u u r u u u r___ ____．（2）向量加法、减法的平行四边形法则：AB AD +=u u u r u u u r _____________；AB AD -=u u u r u u u r___ ____．（3）向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即： ； 向量加法满足结合律，即： ．参考答案：1．（1）大小，方向；（2）大小，数；（3）零，任意，0r； 2．（1）相同，相等；（2）相反，相等；（3）相同或相反； 3．（1）AC u u u r ，AB u u u r ； （2）AC u u u r ，DB u u u r ； （3）；a b b a +=+r r r r ，CBAD()()a b c a b c ++=++r r r r r r 。

1．下列各式中，正确的个数是（ ）①若0a =r ，则0a =r ； ②若0a =r r ，则0a =r r； ③若a b =r r，则a b =r r 或a b =-r r ； ④若0a =r r ，则0a -=r r ．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．设b r 是a r的相反向量，则下列说法错误的是（ ）A 、a r 与b r 的长度必相等B 、a r ∥b rC 、a r 与b r 所在直线一定平行D 、a r 是b r的相反向量3．下列说法不正确的是（ ）A 、零向量是没有方向的向量B 、零向量的方向是任意的C 、零向量与任一向量平行D 、零向量只能与零向量相等 4．如图，梯形AECD 中，CD //AE ，AD ＝CE ，点B 在AE 上，BC //AD ．则图中与CD uuu r相等的向量： ．与AB u u u r相反的向量： ． 与AB u u u r平行的向量有： ．AD =u u u r．参考答案：1．B ； 2．A ； 3．A ； 4．略．例题1：练习B AECDa rb r cr （1）如图1，一只蚂蚁从点A 出发，沿着△ABC 的边爬行一周回到点A ，则AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r；（2）如图2，一只蚂蚁从点A 出发，沿着四边形ABCD 的边爬行一周回到点A ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r；（3）如图3，一只蚂蚁从点A 1出发，沿着n 边形的边爬行一周回到点A 1，那么1223341n A A A A A A A A ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u rL ．图1 图2 图3参考答案：（1）0r ； （2）0r ； （3）0r试一试：化简下列各式：①AB ＋BC ＋CA ； ②AB —AC ＋BD —CD ； ③OA —OD ＋AD ；④NQ ＋QP ＋MN —MP ．结果为零向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4参考答案：D ；例题2：如图，已知向量a r 、b r 、c r 、d u r，分别画出下列向量：（1）a c b d +--r r r u r （2）()()a cb d -+-r r r u r参考答案：图略。

试一试：如图，已知向量a r 、b r 、c r ； 求作：（1） b a -r r ，（2）()a b c --r r r．参考答案：图略。

ABCABC DA2A3A4A5A6An A1abcd例题3：如图，正六边形ABCDEF 的中心是O ，已知AO a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r表示以下向量：EF u u u r =______________，CF uuu r =______________，FA u u u r=______________， CE u u u r =______________，AE u u u r=______________，AC u u u r =______________.参考答案：EF a =-u u u r r ，2CF b =-u u u r r ，FA b a =-u u u r r r ，2CE a b =-u u u r r r ，2AE a b =-u u u r r r ，AC a b =+u u u r r r试一试：如图，已知向量AB a =u u u r r 、BC b =u u u r r 、CD c =u u u r r 、DE d =u u u r u r ；试用a r 、b r 、c r 、d ur 表示下列向量： （1）AB AC -u u u r u u u r ； （2）AB AE -u u u r u u u r ．参考答案：（1）b -r ； （2）b c d ---r ur r例题4.已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）利用图中的向量表示：BC CD +=u u u r u u u r_____________；（2）利用图中的向量表示：AO AD -=u u u r u u u r_____________；（3）如果5AB =u u u r ，12BC =u u u r ，则BO =u u u r___________．FEDCB OAABCDEODCBA参考答案：（1）BD u u u r，（2），（3）6.5例题5.如图，□ABOF ，□BCDO ，□ODEF ，用a r 、b r ，c r表示：AF =u u u r ；OC =u u u r ；DF =u u u r ；AE =u u u r；CF =u u u r ．参考答案：，，，，c b a ρρρ+--1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r , BC b =u u u r r ，则a b +r r为 ．2．在□ABCD 中，AC u u u r ＝a r ，AB u u u r ＝b r，则BC uuu r = ．3．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u r，那么四边形ABCD 为（ ）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、不是矩形、菱形的四边形4．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，OD d =u u u r u r，则（ ） A 、0a b c d +++=r r r u r r B 、0a b c d -+-=r r r u r rC 、0a b c d +--=r r r u r rD 、0a b c d --+=r r r u r r5.判断下列命题是否为真命题（1）如0a =r ，那么0a =r r ；（ ） （2）若a r =b r，那么a r =b r ；（ ）（3）若a r =b r，那么a r //b r ．（ ）6．化简：（1）()()AB CD BE DE -+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ； （2）()BC DA MB CM --+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ．7．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 在边BC 上，联结DE ，AC ．（1）填空：CD DE +=u u u r u u u r ___________；BC BA -=u u u r u u u r____________；（2）如果把图中线段都画成有向线段．．．．．．．，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量BE u u u r平行的向量是 ；（3）求作：AB AD +u u u r u u u r．（请说明哪个向量是所求作的向量）8．如图，点E 、F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，且EB = DF ．（1）填空：BC BA +u u u r u u u r =________；BA AF +u u u r u u u r=_________；BC AF -=u u u r u u u r ． （2）求作：BC AF +u u u r u u u r．ACEBDADar br cr A BED C9．已知□ABCD ，点E 是 BC 边的中点，请回答下列问题：（1）在图中求作．．AD u u u r 与DC u u ur 的和向量：AD DC +u u u r u u u r = ； （2）在图中求作．．AD u u u r 与DC u u u r 的差向量：AD DC -u u u r u u u r = ；（3）如果把图中线段都画成有向线段．．．．．．．，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与BE u u u r 互为相反向量的向量是 ；（4）AB BE EA ++=u u u r u u u r u u u r．10.如图，已知向量AB a =u u u r r 、BC b =u u u r r 、CD c =u u u r r 、DE d =u u u r u r ；试用a r 、b r 、c r 、d ur 表示下列向量： （1）AB AC -u u u r u u u r ；（2）AB AE -u u u r u u u r ．11、如图，已知向量a r 、b r 、c r ；求作：（1） b a -r r ，（2）()a b c --r r r．参考答案：1．2； 2．a b -r r ； 3．B ； 4．A ；5.是，否，否 6．AC u u u r ，AD u u u r．7．（1）CE u u u r ；AC u u u r ； （2）BC uuu r 、CB u u u r 、CE u u u r 、EC uuu r 、AD u u u r 、DA u u u r； （3）略；ABCDE8．（1）BD u u u r BF u u u r FD u u u r ； （2）略； 9．（1）AC u u u r ； （2）BD u u u r ； （3）EB u u u r 、CE u u ur ； （4）0r ；10.b ρ-，b c d---r u r r 11.略【巩固练习】1．下列结论正确的有（ ）① 向量AB u u u r 与向量BA u u u r 是两个平行向量； ② 若a r 、b r 都是模为1的向量，则a r =b r；③ 两个向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同； ④ 对任意一个向量a r ，都有0a >r． A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个．2．等边△ABC 中，设AB u u u r =a r ，BC uuur =b r ，CA u u u r =c r ，则下列错误的是（ ）A 、a b c ==r r r ；B 、0a b c ++=r r r r ；C 、a b c ==r r r ；D 、0a b c ++=r r r．3．下列关系式：① 0AB BA +=u u u r u u u r ；②0AB BA +=u u u r u u u r r；③0AB BA +=u u u r u u u r ；④0AB BA +=u u u r u u u r r ；正确的个数有（ ）A 、1；B 、2；C 、3；D 、4． 4．在□ABCD 中，下列等式成立的是（ ）A 、AB CD AD BD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r B 、AB CD AC BD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r C 、AB CD AC BD -=+u u u r u u u r u u u r u u u r D 、AB CD AC BD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r5．已知□OBCA 中，点D 在OB 上．（1）填空：OA AC +u u u r u u u r = ；AD OB -u u u r u u u r = ； 与AC u u u r平行的向量有 ． （2）求作：OA CD AD +-u u u r u u u r u u u r．6．已知，在△ABC 中，BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ；设BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r．（1）用向量a r 、b r分别表示向量AD u u u r 、BE u u u r 、CF uuu r ； （2）求AD u u u r ＋BE u u u r ＋CF uuu r ．CABOD7.已知，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （1,1）关于原点对称的点为B ，点C （3,2）关于x 轴对称的点为D ；（1）求作向量OB uuu r 、BD u u u r ；（2）求作：OA OC -u u u r u u u r ；（3）求作：OD OC -u u u r u u u r ．8.已知OA u u u r =a ,OB uuu r =b ,且｜a r ｜=｜b ｜=4,∠AOB =60°,①求｜a +b r ｜，｜a r -b r ｜②求a +b 与a 的夹角，a -b 与a 的夹角.参考答案：1．B ； 2．A ； 3．A ； 4．D ；5．（1）OC u u u r ，CD uuu r ；OD u u u r 、DB u u u r 、OB uuu r 、CA u u u r 、DO u u u r 、BD u u u r 、AC u u u r ；（2）图略，OA CD AD BA +-=u u u r u u u r u u u r u u u r ； 6．（1）12AD a b =--u u u r r r ；12BE a b =+u u u r r r ；1122CF b a =-u u u r r r ；（2）0r7.略 8.①34，4 ②30度，60度。