则有： 11m1f
1 E11 m Em1 f Eff
当外加应力作用在由纤维横截面积 A f 和基体横截
面积 A m 组成的复合材料横截面积A上，纤维和基
体平行地承受应力，则有：
F Ff Fm
1Af Af mAm
设 V f 和 V m 分别为复合材料中的纤维体积含量和
基体体积含量，则有：
Vf
Af l Al
Af A
Vm
Aml Al
Am A
Vf Vm 1
1fVf mVm
E1EfVf EmVm 混合定律
或 E 1E fV f E m (1V f)
上式为复合材料性能与复合材料组成性能加权和 之间的关系，被称为混合定律。
⑵ 单向板的横向弹性模量E 2
22m2f
垂直于纤维的横向载荷等同地作用载纤维和基 体上，即可以看作纤维与基体的串联模型，两者承 受同样的外加应力。
⑶单向板的主泊松比ν12
复合材料的主泊松比——是指在轴向外加应力时横 向应变与纵向应变的比值。
横向收缩，纵向伸长
主泊松比
12
2 1
1 —纵向应变
2 —横向应变
横向变形增量 W 为：
WWf W m
W
12
W 1
W f
f
V fW 1
Wm
m
V mW 1
12 1 W V f f 1 W V mm1 W
简单模型：
⑴ 单向板的纵向弹性模量E 1
1 ,1 - - 复 合 材 料 的 最 终 应 变 和 应 力
1 m ,m - - 基 体 的 应 变 和 应 力
1 f,
- - 纤 维 的 应 变 和 应 力
f
复合材料、基体和纤维的弹性模量分别为：
E1
Em
Ef
当一拉伸载荷沿平行于纤维方向作用在单向板上时：
公式： 1Vf VmVf Efm/Em f 2 E2 Ef Em Ef VfEf /VmEm 1
有人提出了更简单的关系式：E 2 E f
E m E f 1 V f V f E m
P105(7.24)
其
中 ， E m
Em
1 m2
3、弹性理论法分析单向板的弹性性能
确定复合材料单向板弹性常数的弹性理论方法 基于各种模型和能量平衡法。
纤维分布的邻接概念
● Halpin和Tsai利用简化的方法，提出了复合材 料弹性性能的预测方程：
E 1E fV f E m (1V f)
12 fVf m (1Vf)
P107(7.30)
Mc 1 Vf Mm 1Vf
而
fVf mVm
而 G 12
f
Gf
m
Gm
G12 Gf
Vf
GmVm
1 Vf Vm G12 Gf Gm
或
G12
Gf
Gf Gm Vm GmVf
G 12 、G f 、G m —分别为复合材料、纤维基体的
剪切模量
2、材料力学法预测E1、E2的修正 由于前面分析纵横向模量时，都作了一些假定，
分析材料纵向模量E1时，没有考虑基体内由于纤维 约束所引起的三轴应力情况。于是Ekvall提出了一 个考虑泊松收缩时对E1的修正公式：
细 观 力 学 处 理 方 法 “ “ 材 弹 料 性 力 理 学 论 ” ” 法 法
宏观力学：依据单向复合材料的物理和力学试验所 得到的结果来进行分析。即根据单向复合材料的纵 向弹性模量E1、横向弹性模量E2、主泊松比ν12、面 内剪切模量G12以及适当的强度平均值,用宏观力学方 法来设计或预测复合材料的性能。
E 1 E f V f E m V m
其
中
，
E
＝
m
1
Em
2
m
2
m 基 体 的 泊 松 比
分析复合材料的横向弹性模量E2时，没考虑在横 向载荷作用下，纤维和基体在纤维纵向所产生的不 同约束而引起的双轴效应明显不同。不同的约束是 由于两相的应变不同产生的，并且当两相的泊松比 不同时，则更加明显，于是Ekvall提出了对E2修正
12Vff Vm m
⑷单层板的面内剪切模量G12
假定纤维和基体所承受的剪切应力相等，并假 定复合材料的剪切特性是线性的，总剪切变量为D。
试样的剪切特性： f m
若试样宽度为W，则有剪切应变：
D W
DW
若D
和
f
D
分别为纤维和基体的变形量，则有
m
DDf Dm
f
D WV f
m
D WV m
WfWfVmWm V
式中：
12 (1 (1 m m 2 2 m 2) m 2f)E E ffV V ff ( (1 1 ff
2f2)m E m V m 2f2)E m V m
当 12f m时，则上界变为：
E1EfVf EmVm
⑵直接法确定单向板的弹性常数 邻接度（c）：纤维之间的接近程度。（Tsai提出） c可由实验确定
f＝E2f ， m＝Em 2， 2＝ E22
由于变形是在宽度W上产生的，所以复合材料的变 形增量为：
2
W W
WWf W m
m
Wm Байду номын сангаасm
Wm VmW
f
Wf Wf
Wf Vf W
2Wm Vm WfVfW 2mVmfVf
2
E2
Vm
2
Em
Vf
2
Ef
1 Vm Vf
或
E2 Em Ef
E2
EmVf
EmEf Ef (1Vf )
第七章复合材料力学性能的复合规律
连续纤维增强复合材料的力学复合表面及 界面的化学基础
短纤维增强复合材料的力学复合关系 粒子复合材料的力学性能
引言
复合材料力学复合的两个方面
细观力学 宏观力学
细观力学：根据增强体和基体性能及相互作用来了 解复合材料（更多的是单向复合材料）的特性，用 近似的模型来模拟复合材料的细观结构，然后根据 复合材料组分的性能来预测材料的平均性能。
⑴ 能量法确定单向板的弹性常数
E 1的下界的确定： 1 Vm Vf E2 Em Ef
而
E1 E2
1 Vm Vf E1 Em E f
（ E 1 的下界）
E 1 的上界确定：
E 1 1 ( 1 f 4 f f 2 1 f 2 2 2 )12 2 E fV f 1 ( m 1 4 m m 2 1 m 2 2 2 )12 2 E m V m
两方法均以复合材料的组分特性来确定复合材料的 弹性模量和强度。
§7.1 连续纤维增强复合材料的力学复合
纤 维 形 态 非 连 连 续 续 纤 纤 维 维 （ 短 纤 维 ） 或 晶 须 晶须:长度为100～1000μm,直径约为1～10μm的单 晶体。
一、单向板的力学性能 1、材料力学法分析单向板的弹性性能