最大项与增减性
增减性的实质是比较 C 与C n! n k 1 n! n k 1 k 1 k Cn Cn k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k n k 1 k k 1 所以Cn 相对于Cn 的增减情况由 决定． k
练习（ : 1 x x x ） 的展开式中奇次项
2 3 4
系数和是 ______
分析 : 设f ( x) (1 x x x )
2 2 12 3 4
a0 a1 x a2 x ... a12 x 4 f (1) a0 a1 a2 a12 4 f (1) a0 a 1 a2 a3 a12 0 思考： 7 (1 2x) 展开式中求 a1 a2 a3 ... a7
k n k 1 n 的大小.
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n k 1 n 1 1 k k 2 n 1 可知，当 k 时， 2
还有没有其他解释呢？
知识探究3:
函数角度：
C
f（r），其定义域是｛0,1,· · · ,n｝。
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n=
1 n-1 k n-k k n n n Cna +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
0
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
2.二项式系数:
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
2 n
r n
n n
3.二项展开式的通项Tk+1=
C a
2 2 n
k n
nk
b
k
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n r n r n n
n
观察猜想
(a+b)n=
1 n-1 r n n n r r Cna +Cna b+…+Cna b +…+Cnbn 0
展开式的二项式系数 C , C , C ,C ,C 有什么变化规律？二项式系数最大的是哪 一项？
n 0 n
C a
1 n
1 n1 n
2 n
b C b
3 令a=1，b=－1得
(1 1) C C C C (1) C 0 2 3 即0 C n C n C C n 0 2 1 3 Cn Cn Cn Cn
2r 4n
r 3 n+1 4
4 C4
当n不大时，可用该表来求二项式系数。 0 2 3 1
0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5
4 5 6 C 6 C6 C 6 C 6 C 6 C6 C6
总结提炼2:
Cn Cn
m
n m
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行——— 第2行—— 第3行—第4行— 第5行-第6行0 1 C1 C1
1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点
第0 行 1 第1 行 1 1 第2 行 1 k2 1 第3行 杨辉三角的第 1 2 3 -1行 3 (k 1 是正整数) 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 的各个数字都是奇数（质数的积） 第6 行 1 6 15 20 15 6 1 第7 行 1 7 21 35 35 21 7 1
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可 设第2r-1项系数最大。（以下同2）
5 10 10 5 6 15 20 15 6
知识探究3:
(a+b)1 (a+b)2
C
0 2
0 1
C
1 2
1 1
1 1
2 2
C C C
C C
0 3 1 3
1
3 3
2
1
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n
C
2 3
C
1
1 1 4
3 3
6 4
1
1 1 1
1 3 4 2 C0 C C C C 4 4 4 4 4
例3在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项式 系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
例如：2+1=3
4+6=10 C C
0 1 1 1
1 2 0 因为： C C + C2 C C 22=C 22 3=
1 1 6
5
5
6
1
1
C
3 2 1 2 0 1 2 3 10 C = + C = 4 4 5 CC C C C 3 3 3 3
1 2 2
15
20 15
0 4
C
C c c =C c +
r-1 1 n 4
7 2 6
赋值法
7
（2）令x 1
a0 f (0) 1
展开式右边即为a0
7
a1 a2 ... a7 (a0 a1 a7 ) a0 f (1) f (0) 1 1 2
f (1) (1 2 1) 1 a0 a1 a2 a7
0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 1 C6
10 10
6 15 20 15
你知道这是什么图表吗？
总结提炼1:
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
1 1 1 1 4 4 3 6 6 10 10 10 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1
r n 可以看成以r为自变量的函数
图象法解释
r ①当n=6时，二项式系数 C（ 0≤r≤6）用图象表示： 6
7
f(r)
20
14
个
孤 立 的 点
6 r
O
3
6
图象法解释
f（r）
20
f（r）
35 30
n为奇数； 如n=7
15
20
10
6 1 O O
n 2
n
r
3 n4
2
7
n
n为偶数； 如n=6
①关于r=n/2对称
r=5.
1.研究斜行规律
2.研究杨辉三角与斐波那契数列的关系
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=6 C
第二条斜线上： 1+2+3+4+5=15 C
1 6
2 6 3 6
1+3+6+10=20 C 第三条斜线上： 第四条斜线上：1+4+10=15 C 64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
2
二项式系数求和： 1
2 2
0 1 2
1 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
0 n 1 n 2 n
2 4 8 16 32 64
n n n
2 3 2 4 2 2 2
5 6
猜想 : C C C ....... C 2
求证 : C C C ....... C 2
1 2 n r 1 n r 1 即 Cr0 Cr Cn ( n r ) 1 Cr 2 Cn 1
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
C C C C C r r r r r 1 C r C r 1 C r 2 C n 1 C n
C
1 （第1条斜线 ） n 2 1＋2＋3＋ ．．．＋ 1 ＝ （第2条斜线 ） n n 1 3 2 1＋3＋6＋ ．．．＋ ＝ （第3条斜线 ） n n 1 4 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ （第4条斜线 ） n n 1
0 n 1 n 2 n n n
n
证明:
在（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
n 0 n 1 n 2 n r n
…+
令a=b=1，则 2 C C C C C
n n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意数或式子，
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝
C
(n>r)
?
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即 C C
r r r r 1