超几何分布与二项分布型概率解答题
【湖南省历年高考试题】
（2010年湖南17）下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
（1）求直方图中x 的值;
（2）若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3
位居民（看作有放回的抽样）,求月均用水量在3
至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.
解析：（1）依题意及频率分布直方图知,
0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12.x =
（2）由题意知, ~(3,0.1)X B ,因此
033(0)C 0.90.729,
P X ==⨯=1
23(1)C 0.10.90.243,P X ==⨯⨯=
223(2)C 0.10.90.027,P X ==⨯⨯=3
33(3)C 0.10.001.P X ==⨯=
故随机变量X 的分布列为
X 0
1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001
X 的数学期望为30.10.3.EX =⨯=
【备考要点】
超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同特点是从总体中抽取若干元素,但超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取或者总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型，是概率与统计解答题最基本的要求.二项分布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生产上的实际问题相结合,从这个角度上看,超几何分布模型似乎先天不足，近七年没有命题.
【高考仿真试题】
1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里,有连续2天日销售量都不
低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个
的天数,求随机变量X 的分布列，期望EX 及方差
.DX
解析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,
2A 表示事件“日销售量低于50个”. B 表示事件
“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100
个且另一天销售量低于50个”. 因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=, 2()0.003500.15,P A =⨯=故()0.60.60.1520.108.P B =⨯⨯⨯=
（2）因为~(3,0.6),X B 故033(0)C 0.40.064,P X ==⨯=
1
23(1)C 0.60.40.288,P X ==⨯⨯=223(2)C 0.60.40.432,P X ==⨯⨯=
333
(3)C 0.60.216.P X ==⨯= 随机变量X 的分布列为
X
0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216
二轮复习
X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=,方差30.60.40.72.DX =⨯⨯=
2.为了了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量
;
（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列与数学期望.
解析：（1）设乙厂生产的产品数量为x ,由
98145
x =得35.x =故乙厂生产的产品数量为35件. （2）易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙生产的产品中的优等品率为25
,故乙生产有大约235145
⨯=（件）优等品. （3）ξ的取值为0,1,2.21123322222555C C C C
331(0),(1),(2),C 10C 5C 10P P P ξξξ⨯========= 所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望412.5105
E ξ=⨯+⨯= 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和.p （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49,50求p 的值. （2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望.E ξ
解析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1491()1,1050P C p -=-
= 解得1.5p =（2）由题意,9~(3,)10B ξ故391()C
()()3,0,1,2,3.1010
k k P k k k ξ==⨯⨯-= 随机变量ξ的分布列为
故随机变量ξ的数学期望3.1010E ξ=⨯=。