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人教版高中数学选修1-1导学案第一章 §1.2 充分条件与必要条件

§1.2充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.知识点一充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充要条件如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.特别提醒:命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件),即p⇒q且q⇒p;(2)充分不必要条件,即p⇒q且q⇏p;(3)必要不充分条件,即p⇏q且q⇒p;(4)既不充分也不必要条件,即p⇏q且q⇏p.1.若p是q的充分条件,则p是唯一的.(×)2.“若p,则q”是真命题,而“若q,则p”是假命题,则p是q的充分不必要条件.(√) 3.q不是p的必要条件时,“p⇏q”成立.(√)4.若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.(√)一、充分、必要、充要条件的判断例1指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答).(1)在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC;(2)对非空集合A,B,p:x∈A∪B,q:x∈B;(3)在△ABC中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B;(4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解(1)在△ABC中,显然有A>B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件.(2)显然x∈A∪B⇏x∈B,但x∈B⇒x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.(3)取A=120°,B=30°,p⇏q,又取A=30°,B=120°,q⇏p,所以p是q的既不充分也不必要条件.(4)p⇒q且q⇏p,所以p是q的充分不必要条件.反思感悟充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q,q⇏p,则p是q的充分不必要条件;若p⇏q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件;若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件;若p⇏q,q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合法对于集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},具体情况如下:若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件;若A B,则p是q的充分不必要条件;若A B,则p是q的必要不充分条件.跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;(3)p:a>b,q:a+c>b+c;(4)p:a>b,q:ac>bc.解(1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0⇏x-3=0,故p是q的充分不必要条件.(2)两个三角形相似⇏两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p 是q 的必要不充分条件.(3)a >b ⇒a +c >b +c ,且a +c >b +c ⇒a >b ,故p 是q 的充要条件. (4)a >b ⇏ac >bc ,且ac >bc ⇏a >b ,故p 是q 的既不充分也不必要条件. 二、充分条件、必要条件、充要条件的应用 命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p :-2≤x ≤10,q :1-m ≤x ≤1+m (m >0),若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解 p :-2≤x ≤10,q :1-m ≤x ≤1+m (m >0). 因为p 是q 的必要不充分条件, 所以q 是p 的充分不必要条件,即{x |1-m ≤x ≤1+m (m >0)}{x |-2≤x ≤10},故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≥-2,1+m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m >-2,1+m ≤10,解得m ≤3.又m >0,所以实数m 的取值范围为(0,3]. 延伸探究1.若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m 的取值范围.解 p :-2≤x ≤10,q :1-m ≤x ≤1+m (m >0). 因为p 是q 的充分不必要条件,即{x |-2≤x ≤10}{x |1-m ≤x ≤1+m (m >0)}.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10.解得m ≥9,即实数m 的取值范围是[9,+∞).2.若本例中p ,q 不变,是否存在实数m 使p 是q 的充要条件?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.解 因为p :-2≤x ≤10,q :1-m ≤x ≤1+m (m >0).若p 是q 的充要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧-2=1-m ,10=1+m ,所以m 不存在.反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.跟踪训练2 (1)“不等式(a +x )(1+x )<0成立”的一个充分不必要条件是“-2<x <-1”,则实数a 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)解析 不等式变形为(x +1)(x +a )<0, 因为当-2<x <-1时不等式成立, 所以不等式的解集是-a <x <-1. 由题意有(-2,-1)(-a ,-1), 所以-2>-a ,即a >2.(2)已知P ={x |a -4<x <a +4},Q ={x |1<x <3},“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件,则实数a 的取值范围是________. 答案 [-1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件,所以Q ⊆P ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a -4≤1,a +4≥3,即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5,a ≥-1,所以-1≤a ≤5.命题角度2 寻求结论成立的条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2+1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件. 解 由题意可知,关于x 的一元二次不等式ax 2+1>ax 对于一切实数x 都成立,等价于对于方程ax 2-ax +1=0中,⎩⎨⎧a >0,Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求我们转化的时候思维要缜密.跟踪训练3 设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |=b|b |成立的充分条件是( )A .a =-bB .a ∥bC .a =2bD .a ∥b 且|a |=|b |答案 C 解析a |a |表示与a 同向的单位向量,b |b |表示与b 同向的单位向量,只要a 与b 同向,就有a |a |=b|b |,观察选项易知C 满足题意. 三、充要条件的证明例4 试证:一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 (1)必要性:因为方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根,所以a ≠0,Δ=b 2-4ac >0,x 1x 2=ca <0(x 1,x 2为方程的两根),所以ac <0.(2)充分性:由ac <0可推得Δ=b 2-4ac >0及x 1x 2=ca <0(x 1,x 2为方程的两根).所以方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根, 且两根异号,即方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根.综上所述,一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 反思感悟 充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明: 一般地,证明“p 成立的充要条件为q ”.①充分性:把q 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p . ②必要性:把p 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q .(2)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性. 跟踪训练4 已知x ,y 都是非零实数,且x >y ,求证:1x <1y 的充要条件是xy >0.证明 (1)必要性:由1x <1y,得1x -1y <0,即y -x xy<0, 又由x >y ,得y -x <0,所以xy >0. (2)充分性:由xy >0及x >y , 得x xy >y xy ,即1x <1y. 综上所述,1x <1y的充要条件是xy >0.1.“(2x -1)x =0”是“x =0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 由(2x -1)x =0,可得x =12或x =0.因为“x =12或x =0”是“x =0”的必要不充分条件,所以“(2x -1)x =0”是“x =0”的必要不充分条件. 2.设p :1<x <2,q :2x >1,则p 是q 成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 当1<x <2时,2<2x <4,∴p ⇒q ;但由2x >1,得x >0,∴q ⇏p ,故选A. 3.函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是( ) A .m =-2 B .m =2 C .m =-1 D .m =1 答案 A解析 当m =-2时,f (x )=x 2-2x +1,其图象关于直线x =1对称,反之也成立,所以f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是m =-2.4.“关于x 的不等式x 2-2ax +a >0,x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A .0<a <1 B .0≤a ≤1 C .0<a <12D .a ≥1或a ≤0答案 B解析 当关于x 的不等式x 2-2ax +a >0,x ∈R 恒成立时,应有Δ=4a 2-4a <0,解得0<a <1,所以一个必要不充分条件是0≤a ≤1.5.已知p :-4<x -a <4,q :(x -2)(3-x )>0,若綈p 是綈q 的充分条件,则实数a 的取值范围是________. 答案 [-1,6]解析 p :-4<x -a <4,即a -4<x <a +4; q :(x -2)(3-x )>0,即2<x <3,所以綈p :x ≤a -4或x ≥a +4,綈q :x ≤2或x ≥3. 而綈p 是綈q 的充分条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧a -4≤2,a +4≥3,解得-1≤a ≤6.1.知识清单:(1)充分、必要、充要条件的判断方法. (2)充分、必要、充要条件的应用. (3)充要条件的证明. 2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:求参数范围时端点值的取舍.1.“x 为无理数”是“x 2为无理数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 当x 2为无理数时,x 为无理数.2.设集合M ={1,2},N ={a 2},则“a =1”是“N ⊆M ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 a =1时,N ⊆M ,反过来,N ⊆M 时,a 不一定为1,为2也可以. 3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线 D .α,β垂直于同一平面 答案 B解析 由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件,由面面平行性质定理知,若α∥β,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件,故选B. 4.在△ABC 中,若p :A =60°,q :sin A =32,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 因为sin 60°=32,故p ⇒q ,但当sin A =32时,A =60°或120°. 5.下列四个条件中,使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A .a ≥b +1 B .a >b -1 C .a 2>b 2 D .a 3>b 3 答案 A解析 由a ≥b +1>b ,从而a ≥b +1⇒a >b ;反之,如a =4,b =3.5,则4>3.5⇏4≥3.5+1,故a >b ⇏a ≥b +1,故A 正确.6.“x 2-3x +2<0”是“-1<x <2”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 由x 2-3x +2<0,得1<x <2,因为“1<x <2”是“-1<x <2”的充分不必要条件,所以“x 2-3x +2<0”是“-1<x <2”的充分不必要条件.7.设实数a 为常数,则函数f (x )=x 2-x +a (x ∈R )存在零点的充要条件是________. 答案 a ≤14解析 ∵函数f (x )=x 2-x +a (x ∈R )存在零点, ∴x 2-x +a =0的判别式Δ=1-4a ≥0,∴a ≤14,∴函数f (x )=x 2-x +a (x ∈R )存在零点的充要条件是a ≤14.8.条件p :1-x <0,条件q :x >a ,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,1)解析 p :x >1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q ,但q ⇏p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a <1.9.判断下列各题中,p 是q 的什么条件. (1)p :|x |=|y |,q :x =y ;(2)p :△ABC 是直角三角形,q :△ABC 是等腰三角形; (3)p :四边形的对角线互相平分,q :四边形是矩形;(4)p :圆x 2+y 2=r 2(r >0)与直线ax +by +c =0(a 2+b 2≠0)相切,q :c 2=(a 2+b 2)r 2. 解 (1)∵|x |=|y |⇏x =y ,但x =y ⇒|x |=|y |, ∴p 是q 的必要不充分条件.(2)∵△ABC 是直角三角形⇏△ABC 是等腰三角形, △ABC 是等腰三角形⇏△ABC 是直角三角形, ∴p 是q 的既不充分也不必要条件.(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, ∴p 是q 的必要不充分条件.(4)若圆x 2+y 2=r 2(r >0)与直线ax +by +c =0(a 2+b 2≠0)相切, 则圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离等于r , 即r =|c |a 2+b 2,∴c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则|c |a 2+b 2=r 成立,说明圆x 2+y 2=r 2(r >0)的圆心(0,0)到直线ax+by +c =0(a 2+b 2≠0)的距离等于r ,即圆x 2+y 2=r 2(r >0)与直线ax +by +c =0相切, 故p 是q 的充要条件.10.(1)是否存在实数m ,使得2x +m <0是x 2-2x -3>0的充分条件?(2)是否存在实数m ,使得2x +m <0是x 2-2x -3>0的必要条件? 解 (1)欲使2x +m <0是x 2-2x -3>0的充分条件,则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-m 2⊆{x |x <-1或x >3}, 则只需-m2≤-1,即m ≥2,故存在实数m ≥2,使2x +m <0是x 2-2x -3>0的充分条件. (2)欲使2x +m <0是x 2-2x -3>0的必要条件,则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-m 2⊇{x |x <-1或x >3}, 这是不可能的,故不存在实数m ,使2x +m <0是x 2-2x -3>0的必要条件.11.已知等差数列{a n },则“a 2>a 1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析 等差数列{a n }为递增数列等价于a n <a n +1.12.已知p :x 2+2x -3<0,q :1-a ≤x ≤1+a ,且q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .[4,+∞)C .(-∞,0]D .(4,+∞) 答案 B解析 由命题p :-3<x <1,因为p ⇒q ,q ⇏p , 所以{x |-3<x <1}{x |1-a ≤x ≤1+a },所以⎩⎪⎨⎪⎧1-a ≤-3,1+a ≥1,所以a ≥4.13.有以下四种说法,其中正确说法的个数为( ) ①“m 为实数”是“m 为有理数”的充分不必要条件; ②“a >b ”是“a 3>b 3”的充要条件;③“x =3”是“x 2-2x -3=0”的必要不充分条件; ④“A ∩B =B ”是“A =∅”的必要不充分条件. A .3 B .2 C .1 D .0 答案 C解析 ①“m 为实数”是“m 为有理数”的必要不充分条件,所以原说法不正确;②a >b ⇔a 3>b 3,所以②正确;③“x =3”是“x 2-2x -3=0”的充分不必要条件,所以原说法不正确;④“A ∩B =B ”是“A =∅”的既不充分也不必要条件,所以原说法不正确.14.有下列命题:①“x >2且y >3”是“x +y >5”的充分条件;②“b 2-4ac <0”是“一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为R ”的充要条件;③“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的充分不必要条件;④“xy =1”是“lg x +lg y =0”的必要不充分条件.其中真命题的序号为________.答案 ①④解析 ①当x >2且y >3时,x +y >5成立,反之不一定,所以“x >2且y >3”是“x +y >5”的充分不必要条件,故①为真命题;②不等式的解集为R 的充要条件是a <0且b 2-4ac <0,故②为假命题;③当a =2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1=21,所以a =2,所以“a =2”是“两直线平行”的充要条件,故③为假命题;④lg x +lg y =lg(xy )=0,所以xy =1且x >0,y >0,所以xy =1必成立,反之不然,所以“xy =1”是“lg x +lg y =0”的必要不充分条件,故④为真命题.综上可知,真命题是①④.15.设计如图所示的三个电路图,条件p :“开关S 闭合”;条件q :“灯泡L 亮”,则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________.(填序号)答案 (1) 解析 图(1)开关S 闭合则灯泡L 亮,反之,灯泡L 亮不一定有开关S 闭合,∴p ⇒q ,但q ⇏p ,∴p 是q 的充分不必要条件.图(2)p ⇔q ,∴p 是q 的充要条件.图(3)开关S ,S 1与灯泡L 串联,∴p ⇏q ,q ⇒p ,∴p 是q 的必要不充分条件.16.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q (p ≠0且p ≠1),求证:数列{a n }为等比数列的充要条件为q =-1.证明 充分性:当q =-1时,a 1=S 1=p -1,当n ≥2时, a n =S n -S n -1=p n -1(p -1),当n =1也成立.∵p ≠0且p ≠1,∴a n +1a n =p n (p -1)p n -1(p -1)=p ,即数列{a n }为等比数列. 必要性:当n =1时,a 1=S 1=p +q ;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1),∵p ≠0且p ≠1,∴当n ≥2时,a n +1a n =p n (p -1)p n -1(p -1)=p .∵{a n }为等比数列,∴a 2a 1=p ,即a 2=p 2+pq =p 2-p ,解得q =-1.故数列{a n }为等比数列的充要条件为q =-1.。

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