其中
1
Dn
2
0
1n
n2
这里 1 ，2
0
，3 是矩
3 0
n3
阵M的三个特征值。对于 （4）式
中的M，易求得它的特征值和特征向量：
1 =1， 2 =1/2， 3 =0
因此 所以
1 0 0 1
1
1
D 0 0
1
2 0
0, e1
0
e2 1
e3 2
0
0
0
1
1 1 1
于父母或家族遗传基因所造成的。常染色体遗传疾病 对应的基因型将人口分成三类。记 AA 型——正常人， Aa 型——隐性患者，aa——显性患者。
若在开始时一代人口中 AA，Aa，aa 型基因的人 所占百分比为a0 ,b0 , c0 ； x1(n), x2 (n), x3(n)为第n代人口 中所占的百分比。
1 0
P
0
0
1 1
1
1
1
2, P 1 1
1
0
1
1
2 1 1
0 1 0
2
பைடு நூலகம்
x(n) PDn P 1 x(0)
解得：
1
0
1
0 0 1
1 1 2 0 1 0
0 1 0
0
1
0 1
n
2
1 0
1
2 1 1 2
0 a0
1
b0
0 c0
an
a0
1 2
1 2
bn
cn
0 0
2 1 n 2
0
2 1 n1 2
0
a0
b0
c0
a0
b0
c
0
1 2
n
b0
1 2
n1
c0
＝
1 2
n
b0
1 2
n1
c0
0
所以有 当
an
1
1 2
n
b0
1 2
n1
c0
bn
1 2
n
b0
1 2
n1
c0
cn 0
n1
b0
bn
1 2
n
b0
因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基
cn
c0
1 2
1 2
n1
b0
因AA和aa。
当
n
时，
1
n
，0所以
2
an
a0
1 2
b0 , bn
0, cn
c0
1 2
b0
模型二 常染色体遗传疾病 现在世界上发现的遗传病有几千种，这些都是由
an bn cn an1 bn1 cn1
根据假设(I)，可递推得出：
an bn cn a0 b0 c0 1
对于(1)式.(2)式和(3)式，我们采用矩阵形式简记为
x(n) Mx(n1) , n 1, 2,L (4)
其中 1
M 0 0
1
2 1
2 0
0
1,
0
x(n)
an
0
1/2
0
1/4
aa-aa
0 0 1
并且 x(n) M n x(0，) 其中
M的特征值为
1
1, 2
1, 3
1 2
1 M 0
1
4 1
0
0
2
0
1 4
1
通过计算，可以解出与 1 、2 相对应的两个线性无关的特
征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3：
1
0
1
e1
0
,
e2
0, e3
2
因此
1
P e1 e2 e3 0 1 2
0 0 1
通过计算，P1 P ，因此有
x(n) PDn P 1 x(0)
1 ＝ 0
0
1 1 0
1 2 1
1 0 0
0 1 n 2
0
0
0
0
1 0 0
1 1 0
1 a0
2
b0
1 c0
即
1
1 1 n
1
1
n1
x(n)
an
控制结合 显性患者不能生育后代，隐性患者必须与
一个正常人结合才能生育后代。
从n 1开始就有 x3(n) 0 ，即不再有显性患者， 且
x1
(n)
x2
(n)
x1 1 2
(n x2
1) 1 2
结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与
AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
an
1 an1
1 2
bn1
0 cn1
即
an
an1
1 2
bn1
(1)
类似考虑第n代中的Aa型和aa可推出
bn
1 2
bn1
cn1
(2) cn 0
(3)
将（1）、（2）、（3）式相加，得
an
x(n)
bn
cn
当n=0时
a0
x(0)
b0
c0
表示植物基因型的
初始分布（即培育
开始时的分布）
显然有 a0 b0 c0 1
（ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 (1)确定的。
（b）建模
根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA
型与AA型结合,后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型
n 时，
an 1, bn 0, cn 0
即在极限的情况下，培育的植物都 是AA型。
模型讨论
若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合， 而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型 的概率如 表所示。
后代基因型
AA Aa aa
父体-母体的基因型
AA-AA
Aa-Aa
1
1/4
bn
cn
（注：这里M为转移矩阵的位置）
由（4）式递推，得
x(n) Mx(n1) M 2 x(n2) M n x(0) (5)
（5）式给出第n代基因型的分布可由初始分布的关系。 为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角 阵D，使
M=PDP-1 因而有
Mn=PDnP-1, n=1,2,…
例 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA,Aa和aa。农场计划采用 AA型的植物与每 种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那 么经过若干年后， 这种植物的任一代的三种 基因型分布情况如何？
（a）假设 （i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 ,n=0,1,2,…。 。令x (n)为第n代植 物的基因型分布：
给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概 率，如 表(1)所示。
父体-
母体
AA-AA AA-Aa AA-aa
子代
AA
1
1/2
0
Aa
0
1/2
1
aa
0
0
0
Aa-Aa
1/4 1/2 1/4
Aa-aa
0 1/2 1/2
aa-aa
0 0 1
双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的 特例 。
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个 基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们 所考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的，（A、a为表 示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。 例如,金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色, 基因型为 AA的金鱼草开红花,基因型为Aa的金鱼草开粉红色花,而基因 型为aa的金鱼草开白色花.