(2)由数轴可知： 显然，∁UA⊆∁UB.
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题型二 交集、并集、补集的综合运算 【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝ {x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
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典例剖析
题型一 补集的运算 【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， ∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7} 解 法 二 ：借助Venn图，如图所示，
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这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即 已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 ∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
补集作为一种思想方法，给我们研究问题开 辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在 顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花 明”，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究 对象的功能，这是转化思想的又一体现．
所涉及的所有 元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 U .
2．补集
(1)定义：对于一个集合A，由全集U中 _ _不_ _属_ _于_ _A的 所 有 元 素 组 成 的 集 合 称 作 集 合 A 相 对 于全集U的补集，记作∁UA .
(2)集合表示：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
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3．补集思想 对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论 之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题， 在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求 已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而 将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也 是处理问题的间接化原则的体现．
D．{x|x≤2}
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3．若A＝{x∈Z|0<x<10}，B＝{1,3,4}，C＝ {3,5,6,7}，则∁ AB＝________，∁AC＝________.
解析：∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}， C＝{3,5,6,7}，
∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}． 答案：{2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝ {x|－3<x≤2}．
(1)求∁UA，∁UB； (2)判断∁UA与∁UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}， ∴∁UA＝∁RA＝{x|x<－3}． 又∵B＝{x|－3<x≤2}， ∴∁UB＝{x|x≤－3或x>2}．
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要点阐释
1．全集的相对性 (1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集 合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它 仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整 数，Z就是全集，研究方程的实数解，则R就是全 集．因此，全集因研究问题而异．
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由图可知B＝{2,3,5,7}． 点 评 ： 根 据 补 集 定 义 ， 借 助 Ve n n 图 ， 可 直 观
地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少 时，可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可 借助数轴，利用数轴分析法求解．
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预习测评
1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于 ()
A．{0}
B．{1}
C．∅
D．{0,1}
解析：∵∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}． 答案：D
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA等于 ()
A．{x|x>2}
B．{x|x<2}
C．{x|x≥2}
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1．理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集．
2．能运用Venn图及补集知识解决有关问 题．
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自学导引
1．全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中 ____________
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4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝ {3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝ ________.
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC) ＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5}
(3)Venn图表示：
∅∁U∅＝ ，∁U(∁UA) ＝.
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自主探究
1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是 实数集R吗？
答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元 素．
(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时， 则Z为全集；而当问题扩展到实数时，则R为全集，故并非全集都是实 数集R.
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2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的 含义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所 研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相 应的全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不 同的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号∁UA包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集 合．
(2)对于一个给定的集合，全集选择不同，则 补集不同．
2．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可 能借助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象 问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结 合的思想方法使问题灵活直观地获解．
数形结合的思想是数学重要的思想方法之一， 数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵 活性、深刻性、并跨越各科的界线，有较强的综 合性．