法也是
4.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表 常考知
示，并能用来解决问题.
识点.
一、二阶矩阵的定义
1．由4个数a，b，c，d排成的正方形数表_______ 称为
二阶矩阵．
2．元素全为0的二阶矩阵_______称为零矩阵，简记为
_ ．矩阵
称为二阶单位矩阵，记为 .
二、几种特殊线性变换
知识点
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考情上 线
1.了解二阶矩阵的概念．
2.二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形
选考内
的变换．
容在高
(1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与 考中将
变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法． 以解答
线性变 (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)， 题的形
换、二 即A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
4．投影变换 设l是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点P 作直线l的垂线，垂足为点P′，则称点P′为点P在直 线l上的投影，将平面上每一点P对应到它在直线l上的 投影P′，这个变换称为关于直线l的投影变换．
5．切变变换 平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为________，
平行于y轴的切变变换对应的二阶矩阵为_______ ．
＝M(NP)＝(MP)N.
已知M＝ 矩阵X，使MX＝N.
，求二阶
求二阶矩阵可先设出二阶矩阵X，根据矩阵乘法法 则，应用待定系数法求解.
解：设X＝
，按题意有
根据矩阵乘法法则有
解之得
1．若
，试求x的值．
解：
3x 1, x 1 . 3
伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变 换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以 看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变 换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．
解：(MN)α＝ M(Nα)＝ 所以(MN)α＝M(Nα)． 又因为MN＝
NM＝
，所以MN≠NM.
2．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝ 曲线方程，并判断曲线的类型．
对应变换作用下的
解：设P(x，y)是圆C：x2＋y2＝4上的任一点，P1(x′，y′)是P(x，
y)在矩阵A＝
对应变换作用下新曲线上的对应点，则
将
代入x2＋y2＝4，得 ＋y′2＝4，∴方程
1表示的曲线是焦点为(±2 ，0)，长轴长为8的椭圆．
3．设a，b∈R，若M＝
所定义的线性变换把直线l：
2x＋y－7＝0变换成另一直线l′：x＋y－7＝0，求a，b
的值．
解：取直线l：2x＋y－7＝0上任一点(x0,7－2x0)，则它在对 应的变换作用下有 而点(ax0，－x0＋7b－2bx0)在直线l′： x＋y－7＝0上， 即ax0－x0＋7b－2bx0＝7.由x0的任意性得
积为向量________，记为 Aa 或
，即
这是矩阵
与向量 的乘法．
五、线性变换的基本性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个 向量，λ是一个任意实数，则
(1)A(λα)＝ λAα ； (2)A(α＋β)＝ Aα＋Aβ.
性质2.二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线 变成_直__线__（__或__一__点__）_． 定理：设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个 向量，λ1，λ2是任意两个实数，则 A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
六、二阶矩阵的乘法
1．设A＝
则
AB＝

2．对直角坐标系xOy内的任意向量α，有A(Bα)＝ (AB).a 3．二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝(AB)C . 4．AkAl＝_A_k_+l，(Ak)l＝Akl.
1．已知矩阵M＝
向量α＝
断 (MN)α与M(Nα)的关系，MN与NM的关系．
，试判
式出现，
阶矩阵 (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变 难度不
及其乘 换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变 大，二
法
换．
阶矩阵
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
及其乘
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
法是高
(2)理解矩阵乘法不满足交换律．
考的热
(3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律.
点．
(4)理解矩阵 乘法不满足消去律.
三、变换、矩阵的相等 1．设σ，ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果
对平面内的任意一点P，都有 σ（P）=ρ（P） ，则称这 两个线性变换相等． 2．对于两个二阶矩阵A与B，如果它们的_对__应__元__素__都分 别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B.
四、矩阵与向量的乘法 设A＝
规定二阶矩阵A与向量α的乘
在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、 B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图 形的面积．这里M＝
1．旋转变换
直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋
转α角的旋转变换的坐标变换公式是
对应的二阶矩阵为
．
2．反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线 性变换叫做关于直线l的反射．
3．伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数， 这样的几何变换为伸缩变换．
知识点
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考情上 线
1.逆矩阵与二阶行列式
本部分
(1)理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在． 内容将
(2)理解逆矩阵的唯一性和(AB)－1＝B－1A－1等简单 以考查
性质，了解其在变换中的意义．
矩阵的
(3)了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆 运算及
逆变换 与逆矩 阵、矩 阵的特 征向量
矩阵． 2.二阶矩阵与二元一次方程组 (1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意
义．
(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组． (3)理解线性方程组解的存在性、唯一性．
解线性 方程组， 如求逆 矩阵， 另外特 征值与
3.变换的不变量
特征向
(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向 量的求
量的意义．
4.运用旋转矩阵，求直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
解：旋转矩阵 直线2x＋y－1＝0上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0′，y0′)，
直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线
方程是 2x 2 y 2 x 2 y 1 0, 22
即
1．二阶方阵的运算关键是记熟运算法则． 2．注意运算时运算律的应用，它满足结合律即(MN)P