《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)选修4-2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法1. (选修42P 34习题第1题改编)求点A(2,0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-2对应的变换作用下得到的点的坐标.解:矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-2表示横坐标保持不变,纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换,故点A(2,0)变为点A′(2,0)2. 点(-1,k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(-2,-4),求m 、k 的值.解:⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 k =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2-4,⎩⎪⎨⎪⎧-m =-2,k =-4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,k =-4.3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y =2x 上的变换,求它所对应的矩阵. 解:将平面内图形投影到直线y =2x 上,即是将图形上任意一点(x ,y)通过矩阵M 作用变换为(x ,2x),则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2, ∴ T =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.4. 求曲线y =x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程.解:设点(x ,y)是曲线y =x 上任意一点,在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110的作用下点变换成(x′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,所以⎩⎪⎨⎪⎧x′=y y′=x .因为点(x ,y)在曲线y =x 上,所以x′=y′,即x =y.5. 求直线x +y =5在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011 对应的变换作用下得到的图形.解:设点(x ,y)是直线x +y =5上任意一点,在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011的作用下点变换成(x′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,所以⎩⎪⎨⎪⎧x′=0y′=x +y .因为点(x ,y)在直线x +y =5上,所以y′=x +y =5,故得到的图形是点(0,5).1. 变换一般地,对于平面上的任意一个点(向量)(x ,y),若按照对应法则T ,总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′,y ′),则称T 为一个变换,简记为T :(x ,y )→(x′,y ′)或T :⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. 一般地,对于平面向量的变换T ,如果变换规则为T :⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax +by cx +dy ,那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则,可以改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (a 、b 、c 、d∈R )的矩阵形式,反之亦然.2. 几种常见的平面变换(1) 当M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时,则对应的变换是恒等变换.(2) 由矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k(k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换. (3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.(4) 当M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ-sin θsin θ cos θ时,对应的变换叫旋转变换,即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度.(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换.(6) 由矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换.3. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下,AB ≠BA ,即矩阵的乘法不满足交换律. (2) 矩阵的乘法满足结合律,即(AB )C =A (BC ). (3) 矩阵的乘法不满足消去律. [备课札记]题型1 求变换前后的曲线方程例1 设椭圆F :x 22+y24=1在(x ,y )→(x′,y ′)=(x +2y ,y)对应的变换下变换成另一个图形F′,试求F′的解析式.解:变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201,任取椭圆上一点(x 0,y 0),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0+2y 0y 0,令⎩⎪⎨⎪⎧x′=x 0+2y 0,y ′=y 0, 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x′-2y′,y 0=y′. 又点(x 0,y 0)在椭圆F 上,故(x′-2y′)22+y′24=1,所以2x′2-8x′y′+9y′2-4=0,即F′的解析式为2x 2-8xy +9y 2-4=0. 变式训练设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001,试求曲线y =sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程. 解:MN =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002, 设(x ,y)是曲线y =sinx 上的任意一点,在矩阵MN 变换下对应的点为(x′,y ′). 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧x′=12x ,y ′=2y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =2x′,y =12y′,代入y =sinx 得12y ′=sin2x ′,即y′=2sin2x ′.即曲线y =sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y =2sin2x. 备选变式(教师专享)已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1,矩阵MN 对应的变换把曲线y =12sin 12x 变为曲线C ,求曲线C 的方程.解: MN =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002, 设P(x ,y)是所求曲线C 上的任意一点,它是曲线y =sinx 上点P 0(x 0,y 0)在矩阵MN 变换下的对应点,则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =12x 0,y =2y 0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x ,y 0=12y.又点P(x 0,y 0)在曲线y =12sin 12x 上,故y 0=12sin 12x 0,从而12y =12sinx.所求曲线C 的方程为y =sinx.题型2 根据变换前后的曲线方程求矩阵例2 二阶矩阵M 对应变换将(1,-1)与(-2,1)分别变换成(5,7)与(-3,6). (1) 求矩阵M ;(2) 若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′:11x -3y -68=0,求直线l 的方程.解:(1) 不妨设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤57,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 6,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =-7,c =-13,d =-20,故M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2-7-13-20. (2) 取直线l 上的任一点(x ,y),其在M 作用下变换成对应点(x′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2-7-13-20⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2x -7y -13x -20y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′, 即⎩⎪⎨⎪⎧x′=-2x -7y ,y ′=-13x -20y ,代入11x -3y -68=0,得x -y -4=0,即l 的方程为x -y -4=0.变式训练在平面直角坐标系xOy 中,直线l :x +y +2=0在矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m :x -y -4=0,求实数a 、b 的值.解:(解法1)在直线l :x +y +2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2),A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A′、B′,因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2-2b ,所以A′的坐标为(-2,-2b); ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0-2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2a -8,所以B′的坐标为(-2a ,-8).由题意A′、B′在直线m :x -y -4=0上,所以⎩⎪⎨⎪⎧(-2)-(-2b )-4=0,(-2a )-(-8)-4=0,解得a =2,b =3.(解法2)设直线l :x +y +2=0上任意一点(x ,y)在矩阵M 对应的变换作用下对应于点(x′,y ′).因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,所以x′=x +ay ,y ′=bx +4y.因为(x′,y ′)在直线m 上,所以(x +ay)-(bx +4y)-4=0,即(1-b)x +(a -4)y -4=0.又点(x ,y)在直线x +y +2=0上,所以1-b 1=a -41=-42,解得a =2,b =3.题型3 平面变换的综合应用例3 已知M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012,向量α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤34. (1) 验证:(MN )α=M (N α);(2) 验证这两个矩阵不满足MN =NM .解:(1) 因为MN =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012,所以(MN )α=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34=⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34=⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,所以M (N α)=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32=⎣⎢⎡⎦⎥⎤52,所以(MN )α=M (N α).(2) 因为MN =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012,NM =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012, 所以这两个矩阵不满足MN =NM . 备选变式(教师专享)在直角坐标系中,已知△ABC 的顶点坐标为A ()0,0,B ()-1,2,C ()0,3.求△ABC在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-110作用下变换所得到的图形的面积.解:因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00=⎣⎢⎡⎦⎥⎤00,⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2-1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 0,所以A ()0,0,B ()-1,2,C ()0,3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′()0,0,B ′()-2,-1,C ′()-3,0.故S △A ′B ′C ′=12A ′C ′|y B ′|=32.1. 在直角坐标系中,△OAB 的顶点坐标O(0,0)、A(2,0),B(1,2),求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积,其中矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤100-1,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12222. 解:由题设得MN =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1220-22,∴ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220-22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤00=⎣⎢⎡⎦⎥⎤00, ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220-22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤20=⎣⎢⎡⎦⎥⎤20, ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220-22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2-1. 可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0,0)、A′(2,0)、B′(2,-1).可得△O′A′B′的面积为1.2. 已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110,N =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-11 0,在平面直角坐标系中,设直线2x -y +1=0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ,求曲线F 的方程.解:由题设得MN =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-11 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-1.设(x ,y)是直线2x -y +1=0上任意一点,点(x ,y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′,y ′),则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-1⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x -y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧x =x′,y =-y′.因为点(x ,y)在直线2x -y +1=0上,从而2x′-(-y′)+1=0,即2x′+y′+1=0.所以曲线F 的方程为2x +y +1=0.3. (2013·福建)已知直线l :ax +y =1在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l′:x +by =1.(1) 求实数a 、b 的值;(2) 若点P(x 0,y 0)在直线l 上,且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0,求点P 的坐标.解:(1) 设直线l :ax +y =1上任意一点M(x ,y)在矩阵A 对应的变换作用下的象是M′(x′,y ′),由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +2y y , 得⎩⎪⎨⎪⎧x′=x +2y ,y ′=y. 又点M′(x′,y ′)在l′上, 所以x′+by′=1,即x +(b +2)y =1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧a =1.b +2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1. (2) 由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x 0+2y 0,y 0=y 0,解得y 0=0.又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=1,故点P 的坐标为(1,0). 4. 在线性变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 下,直线x +y =k(k 为常数)上的所有点都变为一个点,求此点坐标.解:由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x′=x +y ,y ′=2x +2y ,而x +y =k ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x′=k ,y ′=2k (k 为常数),所以直线x +y =k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k ,2k).1. 如图所示,四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形,其中各点的坐标分别为A(-1,2)、B(3,2)、C(3,-2)、D(-1,-2)、B′(3,7)、C′(3,3).求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .解:该变换为切变变换.设矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1,由图知,C ――→MC ′,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3-2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以3k -2=3,解得k =53.所以,M =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10531.2. 已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1-2-34,向量α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤57,β=⎣⎢⎡⎦⎥⎤68.(1) 求向量3α+12β在T M 作用下的象;(2) 求向量4M α-5M β.解:(1) 因为3α+12β=3⎣⎢⎡⎦⎥⎤57+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤68=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1521+⎣⎢⎡⎦⎥⎤34=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1825,所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α+12β=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1-2-34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1825=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-6846.(2) 4M α-5M β=M (4α-5β)=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1-2-34⎣⎢⎡⎦⎥⎤-10-12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤34-18. 3. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :2x -y =4,求l 的方程.解:设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1-1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-21=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-2,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a -b =-1c -d =-1, 且⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =0-2c +d =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =2和⎩⎪⎨⎪⎧c =3d =4 ,∴ M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234, ∵ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +2y 3x +4y ,且m :2x′-y′=4, ∴ 2(x +2y)-(3x +4y)=4,即x +4 =0,∴ 直线l 的方程为x +4 =0.4. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).(1) 求矩阵M ;(2) 设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -y =4,求l 的方程.解:(1) 设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1-1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-21=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a -b =-1,c -d =-1, 且⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =0,-2c +d =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2,c =3,d =4,所以M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. (2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +2y 3x +4y 且m :x′-y′=4,所以(x +2y)-(3x +4y)=4,即x +y +2=0,即直线l 的方程为x +y +2=0.几种特殊的变换:反射变换:M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-1:点的变换为(x ,y )→(x,-y),变换前后关于x 轴对称;M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-10 01:点的变换为(x ,y )→(-x ,y),变换前后关于y 轴对称;M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 0 0-1:点的变换为(x ,y )→(-x ,-y),变换前后关于原点对称; M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110:点的变换为(x ,y )→(y,x),变换前后关于直线y =x 对称. 投影变换:M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000:将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上,点的变换为(x ,y )→(x,0); M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001:将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上,点的变换为(x ,y )→(0,y); M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010:将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y =x 上,点的变换为(x ,y )→(x,x);M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101:将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y =x 上,点的变换为(x ,y )→(y,y);M =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212:将坐标平面上的点垂直于y =x 方向投影到y =x 上,点的变换为(x ,y )→⎝⎛⎭⎪⎫x +y 2,x +y 2.请使用课时训练(A )第1课时(见活页).。