华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 求函数值 例题：1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()22(())()xx x f x f e ee ϕ===2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+即 ()23f x x =+二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时,~ln(1)~x x x e +-1211cos ~,2x x -11~2x -无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →= 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3lim x xx →=解：原式=03lim3x xx→=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)limx x x→+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim3x xx→=.5、201lim x x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：0001()()()y f x x x f x -=--' 例题： 1、曲线44xy x+=-在点(2,3)M 的切线的斜率． 解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2282(4)x x ===-2、曲线cos x xy e =在点(0,1)M 处的切线方程．解：20(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 2sin cos 1()x xx x xe xe e =--==-所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：d d d (),()[()]:d d d y y u y f u u g x y f g x x u x==⇒==⋅()()().y x f u g x '''=⋅或微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y ='y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？ 解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2xx y x x =⋅=则dy =sin 2cos ln 2x x dx4、设sin x y e =，则dy =？ 解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e -=，则dy =？（答案：22x xedx --）六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=．3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe -'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=七、 隐函数求导 例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 解：方程两边关于x 求导，得：2cos (2)0x e y y y xy y ''+⋅-+=即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得：sin()(1)y x y y ''=-++即sin()1sin()x y y x y -+'=++3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx ． 答案： dy y dx x=-八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x →--=.()0sin ~,1~xx x x e x →-　当时，. 0cos lim 2xx x e x→-=0sin lim 2x x x e →--= 12=-2、求极限3sin limtan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x →　当时， 201cos lim 3x xx→-= =22012lim 3x xx →　2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭　当时， 16=3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12）九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，()F x C +是()f x 的全体原函数，且有：()()f x dx F x C =+⎰例题：1、( )是函数33x x +的原函数．A ．233x + B ．421342x x + C ．42x x + D ．421142x x +解：因为42313342x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以421342x x +是33x x +的原函数．2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．22sin x -B ．22sin xC ．21sin 2x -D ．21sin 2x解：因为22211sin (cos )2cos 22x x x x x '⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭所以21sin 2x 是2cos x x 的原函数．3是( )的原函数A ．12xBC ．ln xD解：因为'=的原函数．4、( )是函数1x的原函数．A ．21xB ．21x- C ．ln x -D ．ln ||x解：因为()1ln ||x x'=所以ln ||x 是1x的原函数．十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112d x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 ()1221xC =--+2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+3、sin 1cos x dx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 1sin55x C =+6、sin 3xdx ⎰解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式1cos33x C =-+十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）等 例题： 1、求不定积分t =，则221ln(1)x e t x t =-⇒=- 221tdx dt t =- 原式=22121211t dt dt t t t ⋅=--⎰⎰1111dt dt t t =--+⎰⎰ ln |1|ln |1|t t C =--++ln |1|ln |1|C =--++2、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰22012()1+tdt dt =-⎰⎰202(2ln |1|)t =-+ 2(2ln 3)=-3、10⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅4212)t t dt =-5311253t t ⎡=-⎢⎣41)15=+十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰cos (cos )x x x dx =---⎰cos cos x x xdx =-+⎰cos sin x x x C =-++2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰x x xe e dx --=-+⎰x x xe e C --=--+3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰2211ln ln 22x x x d x =-⎰ 211ln 22x x xdx =-⎰ 2211ln 24x x x C =-+十三、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax a x e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=03、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ．解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十四、 变上限积分函数求导43'()(),()x aF x f t dt F x ==⎰则______解33''()()()F x f x x =233()x f x ＝()C 变上限积分函数的导数公式()[]'()'()()()x af t dt f x x Φ=ΦΦ⎰例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=1302921)9=-十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题： 1、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰22012()1+tdt dt =-⎰⎰202(2ln |1|)t =-+ 2(2ln 3)=-2、10⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅4212)t t dt =-5311253t t ⎡=-⎢⎣41)15=+ 十七、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰．解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰220cos (cos )x x x dx ππ=---⎰20cos xdx π=⎰ 20sin 1x π==2、求定积分10x xe dx -⎰解11xx xe dx xde --=-⎰⎰11x x xee dx --=-+⎰11(0)x e e --=---121e -=-+十八、 求平面图形面积 知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰7ln 2lm y e ⎡⎤=⎣⎦5=2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰132023x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦13=3、求由曲线1y x=与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰2211ln ||2x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3ln 22=-。