3.3 立体几何中的向量方法要点核心一、用向量表示空间的点、直线、平面的位置关系在空间中，任取一定点0为基点，那么空间任一点P 的位置可由向量表示，我们也把叫点P 的位置向量．如图3 -3 -1甲．空间任一直线L 的位置可以由L 上一个定点以及一个定方向确定，如图3 -3 -1乙，点A 是直线L 上一点，向量a 表示直线L 的方向向量，则对于直线L 上的任一点P ，有,ta =这样点A 和向量a ，不仅可以确定直线L 的位置，还可具体表示出L 上的任意点，空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线来确定．如图3 -3 -2.设这两条直线相交于点0，它们的方向向量分别为a ，b.P 为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得,yb xa OP +=这样点0与向量a ，b 就确定了平面α的位置，二、平面的法向量1．平面的法向量已知平面α (如图3-3 -3)，直线α⊥L ，取L 的方向向量a ，若α⊥a ，则称a 为平面α的法向量．已知一平面内有两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量，一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平面的一个法向量．2．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用(1)若两直线21l l 、的方向向量分别是,21u u 、则有⇔21//l l ⋅⊥⇔⊥212121,//u u l l u u(2)若两平面βα、的法向量分别是,21νν、则有////1νβα⇔⋅⊥⇔⊥212,ννβαν(3)若直线L 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有//l .//,ναναu l u ⇔⊥⊥⇔因为直线的方向向量与法向量可以确定直线与平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量来研究空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等问题．3．平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：);,,(z y x n =(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程⎩⎨⎧==;0.,0.b n a n (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数个，故可在代人方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.三、用向量方法研究空间中的平行关系1．空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．(1)线线平行设直线21l l 、的方向向量分别是a 、b ，则要证明,//21l l 只需证明).(,//R k kb a b a ∈=即(2)线面平行①设直线L 的方向向量为a ，平面α的法向量是u ，则要证明,//αl 只需证明,u a ⊥，即,0=⋅u a②根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可：(3)面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，②若能求出平面βα、的法向量U 、v ，则要证明,//βα只需证明.//νu2．用空间向量方法证明立体几何中的平行问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理．3．用向量方法证明平行问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直角坐标系，也可以不建系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行问题；(3)根据运算结果解释相关问题．四、用向量方法研究空间中的垂直关系1．空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．(1)线线垂直设直线21l l 、的方向向量分别为a 、b ，则要证明21l l ⊥，只需证明,b a ⊥即.0=⋅b a(2)线面垂直①设直线L 的方向向量是a ，平面α的法向量是U ，则要证,α⊥l 只需证明.//u a②根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证明相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．2．用空间向量方法证明立体几何中的垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于垂直的定理．3．用向量方法证明垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量关系（可以建立空阅直角坐标系，也可以不建坐标系）；(2)通过向量运算研究垂直关系问题；五、两条异面直线的夹角 1．定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''则a '与b '所夹的锐角或直角叫做a与b 所成的角．2．范围：两异面直线所成角θ的取值范围是⋅≤<20πθ3．向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有⋅⋅⋅=|||||||cos |b a b a ϕ 六、直线与平面的夹角1．定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2．范围：直线和平面所成角θ的取值范围是⋅≤≤20πθ3．向量求法：设直线L 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为,κ则有⋅=⋅⋅==ϕθϕθsin cos |||||||cos |sin 或u a u a 此外，可由定义得到直线与平面所成的角θ，如图3 -3 -5所示，.,P >=<∠=OA O POA θ七、两个平面的夹角1．二面角的取值范围：[0，π]．2．二面角的向量求法：(1)若AB 、CD 分别是二面角α-L-β 的两个面内与棱L 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与P 的夹角（如图3 -3 -6甲）． (2)设21n n 、是二面角α-L-β的两个平面α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图3 -3 -6乙）．3．用几何法求二面角的大小的一般步骤是：(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算．4．找或作二面角的平面角的常用方法：(1)根据定义找出二面角的平面角．(2)根据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角．(3)作二面角棱的垂面，则垂面和三面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角．典例分类剖析考点1平面的法向量[例1] 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在BC 、1DD 上是否存在点E 、F ，使B 1是平面ABF 的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由．练习 1．已知平面α经过三点A(1，2，3)、B(2，0，-1)、C(3，-2，0)，试求平面α的一个法向量．考点2利用向量研究平行问题 [例2]如图3 -3 -8所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是、C C 111C B 的中点．求证：MN//平面.1BD A练习 2．正方体l D C B A ABCD 111-的边长为4，M 、N 、E 、F 分别是棱11111111C B C D B A D A 、、、的中点．求证：平面.//EFBDAMN 平面考点3 用向量研究垂直问题[例3] 如图3-3 -10，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD= DC ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于F ，证明 ：(1)直线PA∥平面EDB ；(2)直线PB ⊥平面EFD.[例4] 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使得平面⊥P B A 11平面.1DE C练习 3．在正三棱锥P -ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且.2:1::==FB PF EC BE求证：平面GEF ⊥平面PBC.考点4直线与直线的夹角[例5] 如图3-3 -13，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，求异面直线AC BA 、1所成的角．练习4．如图3 -3 -14，三棱柱1110B A OAB -中，平面⊥11O OBB 平面OAB ，且0160=∠OB O ,,90o AOB =∠,3,21===OA OO OB 求异面直线B A 1与1AO 所成的角的余弦值．考点5 直线与平面的夹角[例6] 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为1,2AC a 求与侧面11A ABB 所成的角．练习5、如图 3 -3 -16，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD.四边形ABCD 中，⊥AB .45,2,4, =∠==+CDA CD AD AB AD(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)设.AP AB =(i)若直线PB 与平面PCD 所成的角为,30 求线段AB 的长；(ii)在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等？说明理由．考点6 两个平面的夹角[例7] 在底面是直角梯形的四棱锥S- ABCD 中，=∠ABC ⊥SA ,90 面,1,===BC AB SA ABCD ,21AD =求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．练习6、如图3 -3 -18，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为,23点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且.2,22==BF AE(1)求证：;1E C CF ⊥(2)求二面角1C CF E --的大小．学业水平1．若直线L 的方向向量为),2,0,1(-=a 平面α的法向量为),4,0,2(-=n 则( )．α//.l A α⊥l B . α⊂l C . D ．L 与α斜交2．若平面βα,的法向量分别为),2,1,(),4,2,1(---x 并且,βα⊥则x 的值为( )．10.A 10.-B 21.C 21.-D 3．已知平面α内有一个点α),2,1,2(-A 的一个法向量为=n ),2,1,3(则下列点P 中，在平面α内的是( )．)1,1,1(-⋅A )23,3,1.(B )23,3,1.(-C )23,3,1.(--D 4．P 是二面角βα--AB 棱上的一点，分别在βα、半平面上引射线PM 、PN ，如果045=∠=BPN BPM ,60o MPN =∠那么二面角的大小为( )．60.A 70.B 80.C o D 90.5．长方体1111D C B A ABCD -中，,3,11===AA BC AB 则异面直线AC 与1BC 所成角的余弦值为6．已知M 为长方体1AC 的棱BC 的中点，点P 在长方体1AC 的面D D CC 11内，且PM//平面,11D D BB 试探讨点P 的确切位置.高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项） 1．若平面α的法向量为,μ直线L 的方向向量为,ν直线L 与平面α的夹角为,θ则下列关系式成立的是( )．||||cos .νμνμθ⋅=A ||||||cos .νμνμθ⋅=B ||||sin .νμνμθ⋅=C ||||||sin .νμνμθ⋅=D2．正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与平面BD A 1所成角的余弦值是( )．42.A 32.B 33.C 23.D3．把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角,1,=--AB C BD A 若.3=AD 且,27A =C 则二面角C BD A --的大小为( )．30.A 60.B o C 120. o D 90.4．正三棱柱111C B A ABC -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面BM A 1的距离为( )．2.A 22.B 21.C 23.D5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两条棱的夹角都为,60 则相对的平面1AD 与平面1BC 的距离为( )．36.A 33.B 66.C 31.D 6．直线AB 与平面α交于点B ，若直线AB 与平面α内过B 的三条直线BC ．BD ，BE 所成的角相等，则AB 与α所成的角等于( )．30.A o B 60. 45.C 90.D7．在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与面BCD 所成角θ满足( )．o A 30.=θ 32sin .=θB60.=θC 36cos .=θD 8．如图3 -3 -23，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，且,1==AB PD G 为△ABC 的重心，则PG 与底面所成的角θ满足( )．4.πθ=A 17342cos .=θB 322tan .=θC 33sin .⋅=θD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案须填在题中横线上）9．若两条直线的方向向量分别为（-2，-1，1）和(1，2，1)，则两直线所成的角为____10．若平面α的一个法向量为)0,3,3(=n ，直线L 的一个方向向量为),1,1,1(=b 则L 与α所成角的余弦值为 11．若分别与一个二面角的两个面平行的向量),0,2,1(-=m ),2,0,3(-=n 且m 、n 都与二面角的棱垂直则该二面角的余弦值为12.正方体1111A D C B A BCD -中，E 、F 分别为1CC AB 、的中点，则异面直线EF 与11C A 所成角的大小是 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.如图3-3 -24，四面体D-ABC 三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，设、O 的方向有大小分别等于1、2、3的三个力,321F F F 、、试求这三个力的合力F 的大小以及合力与三条棱所夹角的余弦．14.（2011年湖南高考题）如图3-3 -25，在圆锥PO 中，已知,2=PO ⊙O 的直径AB C AB 是,2=的中点，D为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B-PA-C 的余弦值．15.（2011年辽宁高考题）如图3-3 -26，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面,//,QA PD ABCD.21PD AB QA == (1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q- BP -C 的余弦值．16.（2011年江苏高考题）如图3-3 -27，在正四棱柱ABCD -,1,2,11111==AB AA D C B A 中点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．设二面角M DN A --1的大小为θ (1)当90=θ时，求AM 的长； (2)当66cos =θ时，求CM 的长．单元知识整合二、空间向量及其运算 1．空间向量的概念(1)在空间，具有方向和大小的量叫做向量，零向量是方向任意、大小为零的向量，两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等．(2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示，向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算(1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算蛀质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律．(2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义．3．空间向量中的一些重要结论(1)空间向量共线、垂直的充要条件：,//R b a b a ∈<=⇔λλ.0);0=⋅⇔⊥=/b a b a b (2)空间向量共面的充要条件p 、a 、b 共面,(a yb xa P +=⇔b 不共线，⋅∈),R y x(3)空间向量基本定理：给定空间一个基底{a ，b ，c}，对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使.zc yb xa p ++=(4)空间向量的数量积及夹角公式：⋅⋅>=<><=⋅||||,cos ;,cos ||||b a ba b a b a b a b a三、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位 正交基底{a ，b ，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与a 、b 、c 同向． 2．向量的空间坐标运算设),,,(),,,(222111z y x b z y x a ==点,),,,(2111x B z y x A （),,22z y 则：,,(22121y y x x b ++=+--=-+12121,();y x x b a z z );,212z z y -;212121z z y y x x b a ++=⋅z y x a ==);,,(111λλλλ);,,(121212z z y y x x ---=-++⇔=⋅⇒⊥21210y y x x b a b a 2121//;0x x b a b a z z ⇔=⇒=λ0(2222121≠==z y x z z y y 3．有关公式 (1)模：;|||212121z y x a a a ++=⋅=(2)夹角：||||,cos b a ba b a ⋅⋅>=<;222222212121212121zy x zy x z z y y x x ++++++=(3)两点间距离：.)()()(||221221221z z y y x x AB -+-+-=四、运用向量方法研究平行与垂直 1．线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即.0=⋅⇔⊥b a b a 3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两条不共线向量来线性表示直线的方向向量． 4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线方向向量与平面的法向量平行；(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行(1)证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；(2)转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直(1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题. 五、用向量方法求空间角 1．求两异面直线所成角利用公,||||,cos b a ba b a ⋅⋅>=<但务必注意两异面直线所成角θ的范围是),2,0(π故实质上应有：.|,cos |cos ><=b a θ2．求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角,ϕ即可求出直线与平面所成的角θ ，其关系是.|cos |sin ϕθ=3．求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补.新典考题分析[例1] （2009年上海高考题）在直三棱柱111C B A ABC -中,,2,1BC AB AB BC AA ⊥===求二面角111C C A B --的大小．[答案] 如图3 -1，建立空间直角坐标系。