2010年高考数学（理科）上海试题一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式204xx ->+的解集是_______________． 2．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．3．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．4．行列式cossin 36sincos36ππππ的值是_______________． 5．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________．6．随机变量ξ的概率分布由下表给出：7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．8．对于不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标为_______________．9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率()P A B =______________(结果用最简分数表示)．10．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n nn n n n --⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．11．将直线l 1：nx +y -n =0、l 2：x +ny -n =0(n ∈N *)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为S n ，则lim n n S →∞=_______________．12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD相交于点O ，剪去∆AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A (B )、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积是_______________．13．如图所示，直线2x =与双曲线22:14x y Γ-=的渐近线交于1E 、2E 两点，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(,)OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是_______________．14．从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1) ,U ∅都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇． 那么，共有___________种不同的选择．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．直线l 的参数方程是12()2x tt y t =+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是 （ ）（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(-2,1)D ．(1,-2)17．若x 0是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则x 0属于区间（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 （ ） A ．不能作出满足要求的三角形 B ．作出一个锐角三角形 C ．作出一个直角三角形 D ．作出一个钝角三角形三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *． (1) 证明：{a n -1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由．20．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．若实数x 、y 、m 满足|x -m |﹥|y -m |，则称x 比y 远离m ． (1) 若x 2-1比1远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ab ； (3) 已知函数f (x )的定义域{|,,}24k D x x k x ππ=≠+∈∈Z R ．任取x ∈D ，f (x )等于sin x 和cos x 中远离0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）A 1A 2A 3 A 4 A 5A6A 7 A 8B 1B 2B 3 B 4 B 5 B 6B 7 B 823．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为(-a ,b )．(1) 若直角坐标平面上的点M 、A (0,-b )、B (a ,0)满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q (a cos θ ,b sin θ )(0<θ <π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P 1、P 2使12PP PP PQ +=，写出求作点P 1、P 2的步骤，并求出使P 1、P 2存在的θ 的取值范围．理科参考答案一、填空题1．(-4,2)； 2．6-2i ； 3．y 2=8x ； 4．0；5．3；6．8.2；7．S ←S +a ；8．(0,-2)； 9．726；10．45； 11．1； 1213．4ab =1； 14．36． 二、选择题 15．A ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；解不等式S n <S n +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增； 同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值．21．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-，35(0.3,0.3,0.6)A B =--，设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3||||A B A B A B A B θ⋅==⋅， 所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．22．(1) (,( 2.)x ∈-∞+∞；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b +>222a b ab +> 因为33222|2|2()()0a b ab ab a b a b +--+-=+->，所以3322|2|2a ba b ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2；(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩，性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4︒函数f (x )的值域为． 23．(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k p x a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )(,)22a b E θθ-+-， 2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )(1cos )b k a θθ+=--，3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率2122(1cos )(1sin )b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )()2(1sin )2b b a y x a θθθθ+---=++， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标．欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2θθ-<，sin()44πθ-<，又0<θ <π，即3444πππθ-<-<，所以44ππθ-<-<，故θ 的取值范围是(0,4π+．。