2015年上海高考数学理科含答案word版2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U A C B =I ；2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =；3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩ ，则12c c -= ；4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为3a = ；5．抛物线22(p 0)ypx =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ；6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ； 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ；8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为3y x=，则2C 的渐近线方程为 ； 10．设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ；11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ；（结果用数值表示）12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元；13．已知函数()sin f x x=，若存在12,,mx x x L 满足1206m x x x π≤<<<≤L ，且()()()()()()()*12231++=122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+--≥∈L ，则m的最小值为 ；14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD V 与ACD V 的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF =u u u r u u u r g ；二. 选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．设12z zC∈、，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A. 332 B. 532 C. 112D. 13217．记方程①：2110x a x ++= ；方程②：2210xa x ++=；③：2310xa x ++=；其中123a a a 、、是正实数，当123a a a 、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根18．设(),n n nP x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222xy +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nx nyx→∞-=-（ ）A. 1-B. 12-C. 1D. 2三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19. (本题满分12分)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F===、分别是棱AB BC 、的中点.证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，A B C 、、三地有直道相通，5AB =千米，3AC =，4BC =千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f (单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设1=t t 时，乙到达C 地.(1)求1t 与()1f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当11≤≤t t时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知椭圆1222=+y x，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、记得到的平行四边形ABCD 的面积为S .(1)设()()1122,,C ,y A x y x . 用A C 、的坐标表示C 到直线1l的距离，并证明12212y x yx S -=；(2)设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知数列{}na 与{}nb 满足112(),*n n n n aa b b n N ++-=-∈. (1)若35,nbn =+且11a=,求{}na 的通项公式;(2)设{}na 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}nb 的第0n 项是最大项;(3)设10a λ=<,(*)n nbn N λ=∈,求λ的取值范围,使得{}na 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2).M m∈-23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0,()4.f f T π==（1）验证()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]+=+。

f x T f x f T∈都有()()()x T参考答案一. 填空题. 题号 123 4 5 67答案 {}1,41142i +16 4 2 3π2x =题号 8 910 111213 14答案 12032y x =±4 45 0.281615-二. 选择题.15. B ；16. D ；17. D ；18. A三. 解答题19.（1）证明：连结AC ，111111111111AA =CC AAC C A C //AC AA //CC EF //AC A C E F AE BE EF //A C BF CF ⎫⎫⇒⇒⎬⎪⎪⎭⇒⇒⎬=⎫⎪⇒⎬⎪=⎭⎭为平行四边形、、、四点共面（2）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()()()()1111111112,0,1,0,2,0,0,0,1,2,1,0,1,2,01,1,0,0,1,1,,001,1,1cos ,1502,111A C D E F EF A E AC FE n a b c a+b=0n EF n A E=b-c=0n n CD CD =-CD AC FE ⎫⇒=-=-⎪⎬=⎪⎭-⎧=⇒⎨⎩⎫⇒⎪⇒=⎬⎪⎭⇒u u u r u u u rr r u u u r r u u u r g g rr u u u u r u u u u r 设平面的一个法向量为且的一个值为而，与平面1515arcsin所成的角的大小为20. 解：（1）133,cos 85tA ==，由余弦定理得：()()()221111122211158258cos 325648053418f t t t t t At t t =+-=+-=g g g g（2）37,88t B F E ≤<当时，乙尚未到达地，设此时乙位于，甲位于则 47855cos 5BF=-t BE=-t B=，，，由余弦定理得：()()()()()222785527855cos 254218f t t t t t B t t =-+----=-+g g ()()321217373413825258888f t t t t f t ⎡⎤⎡⎫∈∈≤<≤<⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭在，单调递减，在，单调递增，故时，()()75155,388t B f t t f t ≤≤=-≤<当时，乙已到达地，单调递减，()2372542188875518t t t f t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，()3f t 的最大值小于.21. （1）证明：22111110,l y x x y AB=2x y -=+的方程为：，()1212221112122211,0y x x y C x y y x x y d S=AB d=2x y y x x y--==⇒⋅-+到直线的距离为：（2）解：1l y=kx l x=-ky 2设：，则直线：2，将直线方程分别代入椭圆方程可得：22221212222122,212121k k x x x x k k k ==⇒=+++2121212121212222222x x k S=x y y x =kx x x x k k+⇒-+=⋅=22.（1）nna a =6n-5为等差数列， （2）()()()()0000000000000001112121122202n n n n n n n n n n k n n k n k n k n k n ka ab b a a b b aa b b a a b b ---------+--+-⎫-=-⎪⎪-=-⎪⇒-=-≥⎬⎪⎪-=-⎪⎭L同理：()00020n n k n n k aa b b ++-=-≥综上所述，0n b 为{}nb 的最大项（3）()()()()1112122121222,222122n n n n n n n n n n a a n a a a n a a λλλλλλλλ------⎫⎪-=-⎪⎪≥-=-⇒=-=⎬⎪⎪⎪-=-⎭L 时时也成立①21211,3,k k =a a λ--=-=当时，不满足题意②()1,0λλλ∈-当时，偶数项递减且均大于-，奇数项递增且均小于-()221221212,2,022M=a M m m a λλλλλλλλ⎧=--⎛⎫⇒⇒==-∈-⇒∈-⎨ ⎪==⎝⎭⎩③(),1λλλ∈-∞-当时，偶数项递增且均大于-，奇数项递减且均小于-，无最值。