数学建模一周论文论文题目：基于运输问题的数学模型
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2011年12 月29 日
（十五）、已知某运输问题的产销平衡表与单位运价表如下表所示
（1）求最优调拨方案；
（2）如产地的产量变为130，又B地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案。
一论文摘要
一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。
本论文运用线性规划的数学模型来解决此运输问题中总费用最小的问题。
引入x变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助MATLAB软件进行模型求解运算，得出其中的最优解，使得把某种产品从3个产地调运到5个销地的总费用最小。
针对模型我们探讨将某产品从3个产地调运到5个销地的最优调拨方案，通过运输问题模，得到模型
Z=1011x+1512x+2013x+2014x+4015x+2021x+4022x+1523x+3024x min
x+3031x+3532x+4033x+5534x+2535x
+30
25
Z=
并用管理运筹学软件软件得出最优解为：
min
关键词：运输模型最优化线性规划
二．问题的重述和分析
A（i=1,2,3）和五个销地j B（j=1,2,3,4,5），已知产地i A的产量有三个产地
i
s和销地j B的销量j d，和将物品从产地i运到销地j的单位运价ij c，请问：i
将物品从产地运往销地的最优调拨方案。
A，2A，3A三个产地的总产量为50+100+150=300单位；1B，我们知道，
1
B，3B，4B，5B五个销地的总销量为25+115+60+30+70=300单位，总2
A,2A,3A的产量全产量等于总销量，这是一个产销平衡的运输问题。
把产地
1
B,2B,3B,4B,5B，正好满足这三个销地的需要。
先将安排的部分配给销地
1
运输量列如下表中：
三．模型的假设与符号说明
1.模型的假设
①每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到各个销地；
②每一个销地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由产地满足；
③从任何一个产地到任何一个销地的物品运输成本和所运输的数量成线性比例关系；
④这个成本就等于运输的单位成本乘以运输的数量。
2.符号说明
A,2A,3A表示该物资的三个产地；
①
1
B,2B,3B,4B,5B表示该物品的5个销地；
②
1
s表示产地i A的产量；
③
i
d表示销地j B的销量；
④
j
c表示把物资从产地i A运到销地j B的单位运价;
⑤
ij
x表示把物资从产地i A运到销地j B的运输量；
⑥
ij
Z表示将物资从产地i A运到销地j B总费用的最小值。
⑦
min
四．模型的建立
从上表可以写出此问题的数学模型。
满足产地产量的约束条件为
x+12x+13x+14x+15x=50，
11
x+22x+23x+24x+25x=100，
21
x+32x+33x+34x+35x=150.
31
满足销地销量的约束条件为
x+21x+31x=25
11
x+22x+32x=115
12
x+23x+33x=60
13
x+24x+34x=30
14
x+25x+35x=70
15
使运输费最小，即
Z=1011x+1512x+2013x+2014x+4015x+2021x+4022x+1523x+3024x+ min
x+3031x+3532x+4033x+5534x+2535x。
30
25
所以此运输问题的线性规划的模型如下：
Z=1011x+1512x+2013x+2014x+4015x+2021x+4022x+1523x+3024x+ min
x+3031x+3532x+4033x+5534x+2535x
30
25
约束条件，
1112131415
2122232425
3132333435
112131
122232
132333
142434
152535
50
100
150
25
115
60
30
70
0(1,2,3;1,2,3,4,5) ij
i j
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
⎧++++=
⎪
++++=
⎪
⎪
++++=
⎪
⎪
++=
⎪
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎪
⎪++=
⎪
⎪++=
⎪
⎪≥==
⎩
五．模型的求解及结果
通过管理运筹学软件对模型中约束条件的求解，解得，模型目标函数中：Z=7225，
min
x=15
11
x=35
12
x=10
21
x=60
23
x=30
24
x=80
32
x=70
35
其余的x值为0.
最优解如下
********************************************
起至销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- -----
1 15 35 0 0 0
2 10 0 60 30 0
3 0 80 0 0 70
此运输问题的成本或收益为: 7225
此问题的另外的解如下：
起至销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- -----
1 0 50 0 0 0
2 10 0 60 30 0
3 15 65 0 0 70
此运输问题的成本或收益为: 7225
此问题的另外的解如下：
起至销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- -----
1 0 35 0 15 0
2 25 0 60 15 0
3 0 80 0 0 70
此运输问题的成本或收益为: 7225
六．结果的分析和检验
A运到销地1B的运输量为15单位，产地1A运到销地2B的从结果可知，当产地
1
A运到销地1B的运输量为10单位，产地2A运到销地3B的运运输量为35单位，产地
2
A运到销地4B的运输量为30单位，产地3A运到销地2B的运输输量为60单位，产地
2
A运到销地5B的运输量为70单位，其他运输量都为0单位时，最小量为80单位，产地
3
总费用为7225。
第二问：当产地
A的产量变为130时，则供给量为50+100+130=280单位;而需
3
求量为25+115+60+30+70=300单位。
这是一个销大于产的问题，为此我们建立一个假A，4A的产量为20，不过4A生产的物品仅仅是个“空头支票”。
由于销地2B 想的产地
4
A运到销地2B的单位运价为M（M可以是一个足够的115个单位必须满足，所以设产地
4
大的基数，如1000即可），其他销地的产品可以不满足，假设其运价为0.单位运价表如下：
运用管理运筹学软件求解得：
最优解如下
********************************************
起至销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- -----
1 0 50 0 0 0
2 25 5 60 10 0
3 0 60 0 0 70
4 0 0 0 20 0
此运输问题的成本或收益为: 6500
此问题的另外的解如下：
起至销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- -----
1 0 50 0 0 0
2 25 0 60 15 0
3 0 65 0 0 65
4 0 0 0 1
5 5 此运输问题的成本或收益为: 6500
此问题的另外的解如下：
起至销点
发点 1 2 3 4 5 -------- ----- ----- ----- ----- -----
1 0 50 0 0 0
2 25 0 60 10 5
3 0 65 0 0 65
4 0 0 0 20 0 此运输问题的成本或收益为: 6500
x=50
有结果可知，
12
x=25
21
x=5
22
x=60
23
x=10
24
x=60
32
x=70
35
x=20
44
其余变量为0，此时总费用的最小值为6500.
七．参考文献
[1]伯棠.《管理运筹学》.高等教育，2006.
[2]管理运筹学软件2.0
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