全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCA3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-B ．2-C ．2D ．84．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ）A ．PAB ．APC ．QAD ．AQ5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出D ．β必能由321,,ααα线性表出8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T AB ．2AC ．1-AD ．*A10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式2010200920082007的值为_____________． 12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________．13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32=+，则=γ__________．14．设A 为n 阶可逆矩阵，且nA 1||-=，则|=-||1A _____________．15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则=||A _____________．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A必有一个特征值为_________．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．19．已知⎪⎪⎪⎪⎫⎛=10002/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________． 20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb a D +++=的值． 解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111a c a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100001101101，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121100010001，1-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210121；（2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ．3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********，⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ，其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ，得42=a ，2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ．对于11=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ，取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110；对于22=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001；对于53=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ）A ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203（ A ）A ．180-B ．120-C ．120D ．1803．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．21B ．2C ．4D ．84．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似B ．||||B A =C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0B ．2C ．3D ．24．．A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 有相同特征值9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交，则=t （ D ）A ．2-B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．16．17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则=)(AB r ______________．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b Ax =的通解是______________．20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ． 22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ，11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，k 为任意非零实数．26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ，试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧===--0002121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。