贵州省遵义航天高级中学2020届高三数学第四次模拟考试试题理'、选择题：5.某方便面生产线上每隔 15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的 40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为8、一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是A.甲B.乙C. 丙D. 丁A. X 1 X 1 ,B. x1 x 2 ,C.x2x 1 , D.x1 x 2,2、已知i 为虚数单位，则 i 2019 =A 1BiCiD -13、已知命题p: x R, x 2 x 1；命题q : 若a 2 b 2，则 ab .下列命题中为真命题的是A. p qB.p ( q)C.( p) q D . (p) ( q)1x2 1，x R，则M NXX 2 x 2 0,x R , N1、已知集合M 4、已知向量a (2, 1),b (1,7)，则下列结论正确的是A. a b B . a II b C.a (a b) D .a (a b)A.①系统抽样，②分层抽样 C.①分层抽样，②系统抽样 6、某几何体的三视图如图所示(单位: 是A . 2B . 47、在等差数列an 中，若 a 3a5A.5B.6B.①系统抽样，②简单随机抽样 D.①分层抽样，②简单随机抽样 3cm ),则该几何体的体积(单位：cm )C. 6D. 8a 7 a ? an 55 , S 33，贝V a 5等于C.7D.9K — 2f侧视图俯视图:乙是第一名。

丁说：我正视图9、在长方体ABCD ARCP中，AB BC 1 , AA 3，则异面直线AD’与DB’所成角的余弦值为A.5B^ _5 C. 1 D.J565210在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B -,cosA3向量BA BC 28则b的值为45A.3B.5 C 4 D. 522 2X y11-已知F i , F2是椭圆C: ——7 1(a b 0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过Aa b且斜率为」的直线上，6△ PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为2111A.-B.C.D.-323412、已知定义在R上的函数y f (x)满足：函数y f(x 1)的图像关于直线x 1对称,且当x ( ,0)时，f (x)xf '(x) 0 .若a o.76 f(o.76),b (log 0.7 6) f (log o.y6),c 6°6 f(6°6)，则a,b,c 的大小关系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD.a>c>b二、填空题：13. ________________________________________________ 曲线y 2ln(x 1)在点(0,0)处的切线方程为.6 4 214. 二项式(x 2y)展开式中x y的系数为 ________________ (用数字作答)15. 从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2, 4,6中任取2个数字，一共可以组成 ____________________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)16 •已知点M 1 , 1和抛物线C：y2 4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A , B两点•若 / AMB 90，贝U k __________ .三、解答题：17.在数列a n中，a14，且na n1 (n 1)a n 2n 2n(1)证明：数列是等差数列;n(2)求数列丄的前n项和S n。

a n18、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PU平面ABCD E为PD的中点.(I)证明：PB//平面AEC(H)设二面角D-AE-C为60°, AP=1, AD=. 3，求三棱锥E-ACD的体积.19、2020年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长，某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况，随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况，得到如下频率分布表：将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”，消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”。

(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表；(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型，采用分层抽样的方法从“非足球迷”，“足球迷”中选取5人，再从这5人中随机选取3人进行问卷调查，则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望。

2 220.椭圆y^ 1 (a b 0)的左、右焦点分别为F「F2，右顶点为A,上顶点为B,a b且满足向量BF1 ?BF20(1)若A(2,0)，求椭圆的标准方程；(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F i，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

121.已知f (x) - x2 a21n x,a 0 .2(1)若f (x) 0 ,求a的取值范围；(2)若f(x-) f(X2)，且x- X2，证明：x- X2 2a22、［选修4—5：参数方程选讲］(10分)在直角坐标系xoy中，曲线C|的参数方程是(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是si n( 3) 1(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若两曲线交点为A、B,求AB23.［选修4—5:不等式选讲］(10分)设函数f x 2x 1 x 1 .⑴画出y f x的图像；⑵当x€ 0 , f x w ax b，求a b的最小值.19.解：(1)设这200名顾客消费金额的中位数为 t ，则有、填空题:13. y=2x 14. 60 15. 1260 16. k=2 三、解答题:17.解析：( 1) na n 1 (n 1)a n 2n 22n的两边同除以n(n 1)，得a n n 11 a nn 2，又彳4, (4)分a n所以数列 — 是首项为4，公差为2的等差数列。

.... (6)分a⑵由(1)得」naa 1 2(n 1)，即」n22n 2, a n 2n2n (8)分故丄11)2a n2n 2n 2 n n 1 (10)分所以s 1>n[(12) (21)(1 1 、】1 1)]=(1 ) n3)2(n 1)2 2 2 n n 1 2 n 1 (12)分18.答案：⑴连接BD 交AC 于点F ,连接EF则在三角形BDP 中，点E 是PD 的中点，点F 是BD 的中点，即线段 EF 是 BDP 的中位线 所以PB II EF,又因为PB 平面AEC EF 平面AEC 所以PB ”平面AEC ............................. 5 分 (2)以A 为原点，以AB 为X 轴，AD 为Y 轴，AP 为Z 轴建立空间直角坐标系：— — -3 1设 AB=CD=a,A(O,O,O), C(a,、3,0), D(0,、.3,0), E(0,2 2通过计算平面 AEC 的法向量门1( . 3, a, . 3a),平面AED 的法向量为n 2 (1,0,0)13cos60 ，解得 a — 2 21 1 1. 3 所以 V E ACD AD CD PA3 2 28 (12)分理科数学答案、选择题：1——5ACBDB 610CCCAD 11 — 12.DB这200名顾客消费金额的平均数X ,931364462180.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 3.367200200200200200200....5 分所以这200名顾客的消费金额的平均数为3.367万卢布。

分布列为:123P0.30.60.1所以BF1F2为等腰三角形所以b=c,由a b?故椭圆的标准方程为:2y_21 (5)(2)由已知得b" 2 2c ,a 2c2设椭圆的标准方程为x22c22yc1, P的坐标为(X o, y0 )9 31 36 (t 3)竺200 200 0.5，解得t3911所以这200名顾客消费金额的中位数为3911(2)由频率分布表可知, “足球迷”与“非足球迷”的人数比为80120采用分层抽样的方法, 从“足球迷” “非足球迷”中选取5人, 其中“足球迷”3“非足球迷”有5 353人。

设为选取的3人中非足球迷的人数，取值为1,2,3.贝UP(1)1 2QG 3，p(c f 102 1C3 C2P(丄10E 1 0.3 2 0.6 3 0.1 1.8 1220、解析：(1)易知 a 2，因为BF1 ?BF23因为 h( c,O),B(O,c),所以 F i P (x o c,y °),F i B (c,c) 由题意得BF I ?BF 2 0，所以X o y o c 0故存在满足条件的直线。

(a,)时，f '(x) 0单调递增;1 2 2a a In a 。

22a 21na 0，解得0 a .e ，故a 的取值范围是(0,e ］。

f (x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增,2a ，即 X 1 2a X 2，则只需证 f(xj f (2a X 2) 因 f(xjf (X 2)，则只需证 f(X 2)f (2a X 2)22 xoyo又因为P 在椭圆上，所以云；21,由以上两式可得3X4cx o 0因为P 不是椭圆的顶点，所以X o (\2c设圆心为(X 1, y 1)，则X 1 -y , y 14严2c 314c c3c ，故 P( 1,3圆的半径rX 1 0)2 (y 1 c)2假设存在过F 2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y k(x c)由相切可知kx j kc y 1k 21k(却kc专Jk 215c 310 分即 20k 220k 1 0 解得k.30 101221.解析：(1) f (x)(X a)(x a)X(0, a)时，f (X )，f (x)单调递减;a 时，f (x)取最小值f (a)(2)由(1)知, 不失一般性，设0 x 1 a x 2，贝U 2a x 2 a要证X 1 x 21 3x, x ,2123. (1) f (x) x 2, x 1, y f (x)的图像如图3x,x 1.所示....... 5 分(2)由(1)知，y f (x)的图像与y 轴交点的纵坐设 g(x) f (x) f (2a x), a x 2a 。

2 2aa 则 g (x) x2a x x2a x22a(a x) 0 x(2a x)又由题意得a x 22a于是gg) f (X 2) f (2a X 2) 0, 即 f(X 2) f (2a X 2)因此x 1x 22a .... .. (12)分2222.解：(1)曲线C 1的普通方程是 .yx1(2)因为C 2是过点(\3,1)的直线所以C 2的参数方程为:£ 2 3t 2(t 为参数)2代入C 1的普通方程—4得t 212解得t2.3，故 AB 4、310所以g(x)在上［a,2a)单调递减，从而g(x) g(a) 44、<3 1 曲线c 2的直角坐标方程是： x y 1 022 ........ 5 分标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当af (x) ax b 在[0, ) 成立，因此a b 的最小值为5 ．............. 10 3且b 2时，分。