贵州省遵义市第四中学【最新】高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知3sin 5α=-，3tan 4α=，那么角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知α是第二象限角，(P x 为其终边上一点，且cos 4x α=，则x 等于（ ）A B ．C ．D ．3．若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AC b =，则BE 等于（ ）A ．12b a +B ．32b a -C ．12a b +D ．32a b -4．ABC ∆中，·0AB BC >，则ABC ∆一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．下列各式中，值为12的是（ ）A ．00sin15cos15B ．22cos112π-C D ．020tan 22.51tan 22.5- 6．函数cos y x x =-的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位8．函数()2cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A．12B．12+-C ．-1D．129．sin7cos37sin83cos53︒︒-︒︒的值为（ ） A ．12-B ．12CD．10．若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形11．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（ ）A ．[,)22ππ-，(,0)2π- B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π- D ．(,)22ππ-，[,0)2π-12．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题13=__________．14．有一两岸平行的河流，水速为1，为使所走的路程最短，小船应朝与水流方向成__________度角的方向行驶．15．已知(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，则∠A =__________．161的直角三角形面积的最大值为______．三、解答题17．ABC ∆中，tan tan 1A B >，判断ABC ∆的形状. 18．已知1tan()42πα+=. (1)求tan α的值;(2)求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值.19．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列.求：tantan tan 2222A C A C++的值. 20．已知O 为定点，,A B 为动点，开始时满足060AOB ∠=，3OA =，1OB =，后来，A 沿AO 方向，B 沿OB 方向，都以每秒4个单位长度的速度同时运动.（1）用含t 的式子表示t 秒后两动点间的距离()f t ； （2）几秒钟后两动点间的距离最小？21．已知(0,0)O ，(1,0)B ，(,)C b c 是OBC ∆的三个顶点.（1）求：OBC ∆的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标； （2）证明：,,G F H 三点共线.22．已知ABC ∆是直角三角形，0=90C ∠，=3AC ，=4BC ，点,D E 分别在,AB BC 上，且DE 把ABC ∆面积二等分，求DE 长的最小值.参考答案1．C 【解析】 【分析】由已知条件得到角α的终边所在象限 【详解】 由35sin α=-则角α的终边在第三象限或者第四象限； 由34tan α=则角α的终边在第一象限或者第三象限； 综上角α的终边在第三象限，故选C 【点睛】本题考查了由三角函数值判断角的范围，根据三角函数值符号特征求出结果，较为简单，也可以记忆“一正二正弦，三切四余弦” 2．D 【详解】由三角函数的定义得cos 4α==解得x =又点(P x 在第二象限内，所以x =选D ． 3．B 【解析】 【分析】由向量运算求出结果 【详解】由题意可得1322BE BC CE AC AB AB b a =+=--=- 故选B 【点睛】本题考查了用基底表示向量，运用向量的加减法运算即可求出结果，较为基础4．C 【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状 【详解】因为ABC ∆中，·0AB BC >，则()··cos 0AB BC B π->， 即()cos 0B π->，cos 0B <，角B 为钝角， 所以三角形为钝角三角形 故选C 【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单 5．D 【分析】分别计算四个选项的结果，求出答案 【详解】对于A 中0111151530242sin cos sin =︒=≠ 对于B 中21211262cos cosππ-==≠ 对于C12=≠ 对于D 中002020tan22.512tan22.511451tan 22.521tan 22.522tan =⨯=︒=-- 故选D 【点睛】本题考查了运用二倍角公式求三角函数值，熟练运用公式进行求解，较为简单 6．D 【分析】根据函数cos y x x =-的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】∵cos y x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C 项；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0y x x =-<，∴排除B 项.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题. 7．A 【分析】根据函数平移变换的方法，由223x x π→-即22()6x x π→-，只需向右平移6π个单位即可. 【详解】根据函数平移变换,由sin2y x =变换为sin 2236y x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 只需将sin2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题. 8．D 【分析】由同角三角函数关系将其转化为关于sinx 的函数问题，运用二次函数求出最小值 【详解】()22215cos sin 1sin sin 24f x x x sin x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,x ,44ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故sin x ⎡∈⎢⎣⎦故当sin x =min y =即当4x π=-时，min y =故选D 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，将其转化为关于sinx 的二次函数问题，注意sinx 的取值范围，较为基础 9．A 【解析】 试题分析：sin 7cos37sin83cos53sin 7cos37cos7sin37sin(737)sin(30)︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=-︒1sin 302=-︒=-，故选A.考点：诱导公式；两角差的正弦公式． 10．C 【分析】根据2cos B sin A ＝sin C ()sin A B =+，由两角和与差的三角函数化简求解. 【详解】∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ， ∴2cos B sin A ＝sin C ＝sin （A +B ）， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝0， ∴sin （A ﹣B ）＝0，A B ππ-<-<，∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.【分析】由已知条件结合不等式的基本性质求出结果 【详解】22ππαβ-≤<≤，424παπ∴-≤<，424πβπ-<≤两式相加可得222παβπ+-<<424πβπ-<≤，则424πβπ-≤-<则222παβπ--≤<又αβ< 则02αβ-<故022παβ--≤<故选D 【点睛】本题考查了两角和与差的范围问题，结合已知条件和不等式性质即可求出答案，注意取等时的条件． 12．B 【分析】 先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 13．cos4sin 4- 【解析】 【分析】运用二倍角和完全平方公式进行化简 【详解】sin 4cos 4==-，53442ππ<<，则sin 4cos4<44cos sin =-，故答案为44cos sin - 【点睛】本题考查了二倍角的运算，在开方时注意大小的讨论，较为基础【分析】由平面向量的知识进行正交分解，然后求出结果【详解】如下图为使小船所走路程最短，V 水+V 船应与岸垂直1,?2,90V AB V AC ADC ====∠=︒水船，则45CAD ∠=︒故小船应朝与水流方向成135度角的方向行驶【点睛】本题考查了平面向量的正交分解，向量的三角形法则，属于基础题15．【解析】由已知得(b+c)2-a 2=3bc,∴b 2+c 2-a 2=bc.∴=.∴∠A=16．14【分析】先设两条直角边长，得等量关系，再根据基本不等式求ab 最值，即得面积最值.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，1a b =++解得12≤ab ，当且仅当2a b ==时等号成立，所以直角三角形的面积1124S ab =≤，即S 的最大值为14.本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.17．见解析【解析】【分析】由三角形内角和为π以及诱导公式、两角和的正切公式进行化简，判定三个角正切值的符号即可得到三角形形状【详解】.∵A B C π++=，∴() tan tan C A B -=+， 即tan tan tan 1tan tan A B C A B+-=- tan tan 1A B >∴tan 0A >，tan 0B >，1tan tan 0A B -<∴ tan 0C -<，tan 0C >，又∵(),,0,A B C π∈∴ABC ∆为锐角三角形【点睛】本题要判断三角形形状，运用诱导公式、两角和的正切公式进行化简即可得到三角形形状，属于基础题18．（1）13；（2）16- 【详解】试题分析：（1）利用正切的两角和公式求tan α的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子2sin 2cos 1cos 2ααα-+化简，最后变形成关于tan α的式子，需要运用三角函数的倍角公式将sin 21cos2αα+、化成单角的三角函数，然后分子分母都除以2cos α，然后代入tan α的值即可．试题解析：（1）由1tan 3α∴=（2）222sin 2cos 2sin cos cos 11tan 1cos 22cos 26αααααααα--==-=-+ 考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.19【分析】由已知条件三角成等差数列求出角B 的值，然后求出22A C +的值，运用两角和的正切公式进行化简求值【详解】∵,,A B C 成等差数列，∴2B A C =+∵A B C π++=，∴3B π=，23A C π+=， ∴223A C π+=∴tan 22A C ⎛⎫+=⎪⎝⎭∴tan tan tan 2222A C A C +=∴tan tan tan 2222A C A C ++=【点睛】本题考查了三角形内角正切值的化简，根据内角和为π，运用两角和的正切公式即可求出结果，较为基础20．（1）()f t =(0)t ≥；（2）见解析【解析】【分析】(1)分类讨论后运用余弦定理求出两点之间的距离(2)运用配方法求出根号内二次函数的最小值【详解】（1）设运动时间为t ，则当304t ≤≤时，()f t ==当34t >时，()f t ==∴()f t = ()0t ≥（2）由（1）知()f t =∴当14t =时，()min 2f x = 即14秒时两动点间距离最小. 【点睛】本题考查了运用余弦定理求最值问题，熟练运用公式是解题关键，并运用配方法求出最值，属于基础题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】 (1)由三角形内0GO GB GC ++=代入点坐标求出重心坐标，再由由FO FC =和BH OC ⊥分别求出外心和垂心坐标(2)由(1)中的结果代入点坐标求证三点共线【详解】 据题意，设()11,G x y ，21,2F y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,H b y ， 则由0GO GB GC ++=可得()()()()111111,1,,0,0x y x y b x c y --+--+--=∴()()()()111111100x x b x y y c y ⎧-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩， ∴1,33b c G +⎛⎫ ⎪⎝⎭由FO FC =可得()2222221122y b c y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：221,22b c b F c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭由BH OC ⊥可得()()()33·1,?,10BH OB b y b c b b cy =-=-+= 解得2,b b H b c ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由（1）易知221233,66b b c b GF c ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭222133,63b b c b GH c ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭∴2GH GF =-，∴,,G F H 三点共线.【点睛】本题考查了求三角形重心、外心、垂心的坐标表示，并证明三点共线，熟练运用向量知识进行求解是关键，并能掌握本题解法22．2【解析】【分析】 设BD x =，BE y =，运用面积公式、余弦定理、不等式求出最小值【详解】设BD x =，BE y =，易求得3sin 5B =，4cos 5B =， 由题意，得12BDE ABC S S ∆∆=即111sin 34222xy B =⨯⨯⨯，∴10xy = 由余弦定理，得2222242cos 25DE x y xy B x y xy =+-=+-⨯ 822455xy xy xy ≥-==当且仅当x y ==∴DE 长的最小值为2.【点睛】 本题考查了运用余弦定理解三角形，熟练运用余弦定理公式、面积公式以及不等式进行化简是关键，本题属于中档题。