三 空间直线与平面
三 空间直线与平面
例2.△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面 α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线
【分析】点共线问题
方法：证明这些点在两平面
的公共交线上(公理2)
例3.在正方体AC1中，G、H分别是B1C1、C1D1的中点, 求证：(1)B、G、H、D四点共面. (2).BG与DH、CC1共点 【分析】(1)点共面问题 (2)线共点问题
(1)平面是无限延展的
(2)平面无厚薄之分 (3)平面把空间分成两部分
平 面
平面的性质 平面的画法 平面的表示
3个公理 斜二测画法
3个推论 平面二维2D 立体三维3D
立体几何中的符号语言 平面的性质 3个公理 3个推论的应用
立体几何中的数学符号 点：用大写字母A、B、C、……表示 线:用小写字母a、b、c、……表示 面：用希腊字母α 、β 、γ 、……表示或用表示图形特征 的字母或对角线字母表示 【分析】：线面看成是点的集合，则点为集合中的元素，引 入代数中集合的关系符号，但意义不同
解(答):有一个公共点
反证法步骤：
1)提出与结论相反的结论 2)由此假设推出与已知(或公 理、定义、定理、或已被证 明的正确命题)矛盾 3)推翻假设则原命题成立
【分析】正难则反，用反证法
证明:(反证法)假设这条直线和 这个平面有两个公共点，由公 理1知，这条直线在这个平面 上，即直线上所有点都在这个 平面内，那么这条直线过平面 外的一点也在这个平面内，这 与已知矛盾，故不可能再有第 二个公共点
◆公理 推论的应用：(1)点共线
(3)点共面 方法: 1).直接法 2).反证法
(2)线共点 (4)线共面
例1.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个 平面有几个公共点？为什么？
解(答):有一个公共点 【分析】正难则反，用反证法
例1.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个 平面有几个公共点？为什么？
公理6 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两 个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面
积相等，那么这两个几何体的体积相等(祖暅原理).
二.平时的习题中常遇见的问题
直 线 和 平 面 高 考 考 察 重 点
基本概念和性质 线面位置关系
空间角
空间距离
主 要 线线位置关系 思 想 线面位置关系 ： 面面位置关系 立 异面直线所成的角(00<α ≤900) 体 几 0 0 线面所成的角(0 ≤α≤90 ) 何 面面所成的角(00<α ≤1800) 问 题 点点距离 转 点线距离 化 点面距离 为 线线距离 平 线面距离 面 面面距离 问 题
例1用数学符号表达下面的图形
图1
图3
图5
图7
图2
图4
图6
图8
例2.用图形和符号描述公理1、2、3及推论1、2、3，
公理1 推论1
公理2
推论2
公理3
推论3
★做立体几何题时特别要遵循两个原则: (1)定理、推论、文字叙述的题目都得先翻 译成图形语言与符号语言，再证明计算 (2)求距离、二面角、体积要先确认后计算
问题：
1.三个平面将空间分成的部分可能有几种？ 答：4、6、7、8
例2.什么叫空间四边形，空间四边形的画法？ 答：四个项点不共面的四边形叫空间四边形。 课本中出现在P12、P20、P22 。画法如下：
二 空 间 两 条 直 线
共 面 直 线
异 面 直 线
高考热点： 平行直线 公理4 一 二 是 是 相交直线 等角定理 及推论 两 两 0 0 条 角的范围:0 ≤θ≤90 异 条 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 面 异 直 面 (或不相交且不平行的两条直线) 线 直 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直 所 线 线，和平面内不经过该点的直线是异面直线 成 距 的 角 离 异面直线距离： 即异面直线公垂线段长 公垂线定义： 和两条异面直线都垂直相交的直线 异面直线的证明方法： 异面直线所成的角 角的范围:00<θ≤900 ①定义法 ②判定定理法 ③反证法
例3.在正方体AC1中，G、H分别是B1C1、C1D1的中点, 求证：(1)B、G、H、D四点共面. (2).BG与DH、CC1共点 【分析】(1)点共面问题 方法： ①各点在两相交直线上(推论2) ②各点在两平行直线上(推论3) 【分析】(2)线共点问题 方法： 先证两直线相交于一点 再证这点在过这两条直线的平面的交线上(该交线刚 好是第三条直线)
二 空间两条直线
二 空间两条直线
二 空间两条直线
二 空间两条直线
【小结】①求异面直线所成的角一般通过直线平移把 所求角转化在三角形中,利用余弦定理求解,求解时注意 先确认后计算 ②点线距离 线线距离 线面距离 面面距离
三 空 间 直 线 与 平 面
高考热点： 直线在平面内 公理1 一 二 是 是 直 直线在平面外 线 直 定义:直线与平面无公共点 与 线 平 性质定理 平 与 行 判定定理 面 平 所 面 求距离 (转化为点到直线距离) 证明方法： ①定义法②判定定理法③反证法 成 平 的 定义:直线垂直于平面内的任何一条 角 行 垂 与 与 直线， ( 反之成立 ) 距 垂 相 直 判定定理1 判定定理2 离 交 性质定理1 性质定理2 直 射影长定理 最小角定理 射影定理 的 斜 证 交 三垂线定理 三垂线逆定理 明 直线与平面所成角的范围:00≤θ≤900
第 一 章 直 线 和 平 面
平面
平面的表示及斜二测画法
平面的概念和性质(3个公理及3个推论)
共面直线 平行直线 相交直线 公理4 等角定理
空间两条直线
异面直线 线在面内
判定定理异面直线所成的角
异面直线间的距离
空间直线与平面
线在面外
线面平行
线面相交
空间两个平面
两个平面平行 两个平面相交ห้องสมุดไป่ตู้
不定义的原始概念（隔膜鸿沟） 平面的概念
一.6条公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条通过这个点的公共直线 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 公理5 长方体的体积等于它的长、宽、高的积 V长方体=abc