（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得 0 ;（β 称为 的负元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1

⑥
k ( l ) ( kl )
数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( k l ) k l ⑧ k ( ) k k
§6.2 线性空间的定义与简单性质
证：设 V , 且 0
k1 , k2 P , k1 k2 , 有 k1 , k2 V
又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限
多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
§6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P ,
⑦ (k l ) a a
k l
a k a l a k a l ( k a ) (l a )
k
⑧ k (a b) k (ab) (ab) a b a b
( k a ) ( k b) ;
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
① a b ab ba b a ② (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (bc) a ( b c)
§6.2 线性空间的定义与简单性质
a 1 a1 a, a ③ 1 R＋， R＋，即1是零元；
例3
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵
的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 用 P mn 表示．
§6.2 线性空间的定义与简单性质
例4
任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
数域P上的线性空间． 例5 全体正实数R＋，

1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
§6.2 线性空间的定义与简单性质
例1 例2
引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P[ x ]n { f ( x ) an1 x n1 a1 x a0 an1 , , a1 , a0 P }
而且这两种运算满足一些重要的规律,如
( ) ( )
1 k ( l ) ( kl )
0
( k l ) k l ( ) 0 k ( ) k k , , P n , k , l P
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k .
§6.2 线性空间的定义与简单性质
如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
加法满足下列四条规则： ①
, , V
② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
1 2 2
2) R＋构成实数域R上的线性空间． 首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.

事实上, a, b R , a b ab R ,且 ab 唯一确定；
a R , k R, k a a R,且 ak 唯一确定．
k


其次，加法和数量乘法满足下列算律
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3、0 0, k 0 0, ( 1) , k ( ) k k 证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0； ∵
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.2 线性空间的定义 与简单性质
一、线性空间的定义
二、线性空间的简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质
注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也
称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
k k ( 0) k k 0
(1 ) 1 (1 ) (1 1) 0 0
∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ; ∵
∴两边加上－ 即得 ( 1) ; ∵k (
) k k ( ) k ∴两边加上 k 即得 k ( ) k k .
§6.2 线性空间的定义与简单性质
例6
nn V f ( A ) f ( x ) R [ x ], A R 令


即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间． 证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
f ( A) g( A) h( A), kf ( A) d ( A) 其中，k R, h( x ), d ( A) R[ x ]
a b log
b a
k a a
k
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k a a
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
§6.2 线性空间的定义与简单性质
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
1 2 log 1 R＋． 2
引例 1
在第三章§2中，我们讨论了数域P上的, a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
k(a1 , a2 ,, an ) (ka1 , ka2 ,, kan ), k P
§6.2 线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质
4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0, 则
(k 1k ) k 1 (k ) k 1 0 0.
练习：
1、P273：习题3 1） 2） 4）
2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
④ a
1 ＋ R ，
⑤ 1 a a1 a ; a R＋； ⑥ k ( l a ) k a (a ) a
l l k lk
1 即 a 的负元素是 a ；
1 1 R＋，且 a a 1 a a a
a (kl ) a ;
kl
k k k k
又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素. 以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x) , 则 f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数 乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.
§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0,
0
0 ( ) ( ) ( ) 0
§6.2 线性空间的定义与简单性质
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 同样满足上述这些重要的规律，即 f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x )) h( x ) f ( x ) ( g( x ) h( x )) f ( x) 0 f ( x) f ( x ) ( f ( x )) 0 f ( x ), g( x ), h( x ) P[ x ], k , l P 1 f ( x) f ( x) k (l ) f ( x ) ( kl ) f ( x ) (k l ) f ( x ) kf ( x ) lf ( x ) k ( f ( x ) g( x )) kf ( x ) kg( x )