W＝｜F｜cos 30 ·｜s｜＝100× 3 ·10＝500 3 （J） 2
y F(x,y)
板书 分析 讲解 板书 分析 讲解 巡视 归纳 小结 板书 说明
j
Oi
x
思考
分析
理解
掌握
思考 分析 理解 掌握 思考 分析 理解 掌握 思考 分析 理解 掌握
练习
思考 10 分析 10 理解 10 掌握 10
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即
a·b＝ x1 x2＋ y1 y2
(7.11)
利用公式(7．11)可以计算向量的模．设 a＝(x,y)，则
a a a x2 y2 ，即 a x2 y2
由平面向量内积的定义可以得到，当 a、b 是非零向量时，
cos<a,b>＝ a b ＝
3.当 b＝a 时，有<a,a>＝0，所以 a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝ a a .
4.当 a,b 90 时，a b，因此，a·b＝ a b cos 90 0, 因此对 非零向量 a，b，有 a·b＝0 a b.
可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a·b＝b·a．
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最新高教版中职数学基础模块下册 7
理论课教案首页
课程名称
数学
7.3 平面向
课题名称
课时
2
量的内积
授课日期
任课教师 谢春霞
目标群体 14 级五高汽车工程系 2,3,4 班 教学环境
理论课堂
学习目标
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（1） a＝ (2,−3), b＝(1,3)；
（2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)；
（3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3)．
解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；
(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；
(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．
情景 引入 新知 探索 例题 练习 新知识 例题 练习 小结 作业
创设情境 兴趣导入
提问
分析
F
讲解
强调
O s
讲解 强调
板书
分析
图 7—21
讲解
板书
如图 7－21 所示，水平地面上有一辆车，某人用 100 N 的力，
分析 讲解
朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前进了 100 m．那么， 板书
x1 x2 y1 y2
.
| a || b |
x12 y12 x22 y22
(7.13)
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.
由于 a b a·b＝0，由公式(7.11)可知
a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．
因此 a b x1 x2＋ y1 y2＝0．
(7.14)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 3 求下列向量的内积：
这个人做了多少功？
分析 讲解
【新知识】
巡视
我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘 板书 分析
积．如图 7－22 所示，设水平方向的单位向量为 i，垂直方向的单 讲解
位向量为 j，则 F x i + y j F sin 30 i F cos 30 j ，
即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生 位移，没有做功，水平方向上产生的位移为 s，即
（2） ( a )·b＝ (a·b)＝a·( b)．
（3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c．
例 1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝ 60 ,求 a·b． 解 a·b＝|a||b| cos<a,b> ＝3×2×cos 60 ＝3．
例 2 已知|a|＝|b|＝ 2 ,a·b＝ 2 ,求<a,b>．
学习难点
教法：讲授为主，学生自主预习为辅。
教法.学法 学法：直观学习法、练习、讨论
课件，教材
教学媒体
教学. 学习准备
教师：准备课件、学生练习的资料 学生：教材、练习册
成都市技师学院理论课教案副页
教学 环节
教学内容
教师 活动
学生 活动
时间
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（2）了解平面向量内积的计算公式.利用向量的内积研究有关问题奠定基础.
职业通用能力目标： 培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法． 制造业通用能力目标：
通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的 意识,及学习数学的爱好.
平面向量数量积的概念及计算公式.
学习重点
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
解
cos<a,b>＝ a b ＝
2
＝−
2
.
| a || b | 2 2 2
由于
0≤<a,b>≤180 ，
所以
<a,b>＝135 ．
*运用知识 强化练习 设平面向量 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j 分别为 x 轴，y 轴上的单
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积，W 叫做向量 F 与向量 s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
如图 7－23，设有两个非零向量 a, b，作 OA ＝a, OB ＝b,由射
线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角，记作<a,b>．
两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量
b 的内积，记作 a·b, 即
位向量，由于 i⊥j，故 i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以
a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2．
10 思考 10 分析 10 理解 10 掌握 5 思考 5 分析 理解 掌握
练习 归纳 小结 记录
图 7－22
这里，力 F 与位移 s 都 是向量，而功 W 是一个数量，
A
a
它等于由两个向量 F，s 的模
O
b
B
及它们的夹角的余弦的乘
图 7－23
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a·b＝｜a||b|cos<a,b>
(7.10)
上面的问题中，人所做的功可以记作 W＝F·s.
由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0．
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
1.当<a,b>＝0 时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝180 时，a·b＝−|a||b|.
2.cos<a,b>＝ a b . | a || b |