斯特林公式及其精确化形式(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除韩山师范学院学生毕业论文（2012届）诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。

毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。

利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。

关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the provingmethods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left.Key words:Stirling formula;improved;error;relative error目录1. 斯特林公式的探求过程 (1)1.1用nn和对n n⎪⎭⎫⎝⎛2对n！进行估计 (1)1.2用nen⎪⎭⎫⎝⎛对n！进行估计 (3)1.3改进nen⎪⎭⎫⎝⎛的形式 (5)1.4证明斯特林公式 (6)2.用计算机求斯特林公式的精细化形式 (7)2.1猜想斯特林公式的改良式 (7)2.2构造改良式函数f（n） (8)2.3用线性回归求f（n） (11)2.4改良式的简单形式 (12)3. 改良式的相关证明 (12)3.1 n!的相关定理和推论 (12)3.2证明改良式比斯特林公式更好 (13)3.3求改良式的误差及相对误差范围 (14)4.结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。

DeMoivre 最先得到斯特林公式（1718年）；接着James Stirling 在1730年又重新得到它。

后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。

当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式，但他们没有证明它比斯特林公式更精确，也没有求出它的误差范围。

本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。

1. 斯特林公式的探求过程斯特林公式：12!lim=-∞→nn n en n n π，目前有许多文章论述斯特林公式的证明,不过都是在知道斯特林公式后, 给出证明相应的方法,虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。

有些令人有“美中不足”的感觉。

本文我们就试着来补上这个缺憾, 展示一种推测式的猜想过程。

这只是其中的一种猜想过程, 因为登一座山可以有各种不同的路径, 路径越多越美妙（用函数的观点来探求）。

1.1用nn和对nn ⎪⎭⎫⎝⎛2对n ！进行估计首先观察 n! = n （n1）（n2） · · · 3 ·2 · 1，令函数!f(n)n =)(+∈N n ，我们知道这是一个增长很快的函数。

在高中时，我们学过一个增长很快的指数函数x2f(x )=，但是∞=→∞n n n 2!lim ,故n2低估了n!，在这里我们把指数函数x2f(x )=变形为x a =f(x )（a 为一个确定的正整数），但是无论a 取哪一个确定整数，我们可以得到∞=∞→n n an !lim 。

于是继续追寻，如果将xa =f(x )变形为xx =f(x )（x >0），显然这个函数的增长会更快。

由于n n n ⋅⋅⋅⋅⋅=f(n)（n 个n 相乘），显然0!lim=∞→n n nn ，故nn 高估了 n!。

不过也不错,因为我们找到了一个比n!更大的估计式n n ，但是因为nn 要远远比n!大很多，当n 趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。

那么我们如何找一个比nn 更小的数？现在将函数xx =f(x )变形为xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2)(，即222)(n n n n f ⋅⋅⋅⋅⋅=（n 个2n 相乘）,显然nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2是一个比n n 更小的估计式。

令nn n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2!（1）如果12!lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛→∞n n n n ，那么nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2就是我们所要的估计公式。

由算术平均大于等于几何平均定理知[1]事实上可以用数学归纳法证明: 考虑（1）式中的数列}{n a , 我们的目标是探求极限 nn alim ∞→。

现在就来计算极限12)11(lim 2!)2()21()!1(lim 11lim <=+=⋅++=∞→+∞→+∞→enn n n n a a n n nn n nn n （2）由e nn<+<)11(2可得 首先注意到}{n a 是一个递减的正项数列, 由实数系的完备性知α=∞→nn alim 存在，且0≥α（3）定理1[1]: 设}{n b 为一个正项数列。

如果 S b n n =∞→lim R S ∈(且)0≠S ,则11lim =+∞→nn n b b 。

如果 11lim =+∞→nn n b b 不成立, 则可能有三种情形: 0lim =∞→nn b或 ∞=∞→n n b lim 或 n n b lim ∞→不存在。

从（2）式中，我们知道11lim =+∞→nn n a a 不成立, 故下列三者之一成立: 0lim =∞→nn a或∞=∞→n n a lim 或 n n a lim ∞→不存在。

配合（3）式可得0lim =∞→nn a, 所以 nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2还是高估了 n!。

1.2用ne n ⎪⎭⎫⎝⎛对n ！进行估计由e e ee n nxdxn in n n n nn ni n n=⎰=∑==--∞→∞→=∞→11ln ln 1lim !ln lim !lim 这个式子[4]，可以寻找到比nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2更小的估计式ne n ⎪⎭⎫⎝⎛。

令n n en n c )(!=，则11lim =+∞→n n n c c 。

如果1lim =∞→n n c ，那我们就可以用ne n ⎪⎭⎫⎝⎛做为n ！的估计式。

由e nn<+<)11(2可得 1)11(!)()1()!1(11>+=⋅++=++nnn nn ne n e n e n n c c ，+∈∀N n 可知数列}{n c 为一个递增数列，故β=∞→nn clim 存在，且(]∞∈,1β。

Wallis 公式（1656年）[1]：由Wallis 公式，可得π=∞→nn n n n )!2()!(222lim（4）由n nn n n e n e n n c !)(!==可得 将述两式代入Wallis 公式得π=∞→ncc nnn 22lim（5）如果β=∞→nn clim 是一个确定的数，则由（5）式得π=0，这是一个矛盾。

因此∞==∞→∞→n n n n en n c )(!lim lim ，所以 ne n ⎪⎭⎫⎝⎛低估了 n!1.3改进ne n ⎪⎭⎫⎝⎛的形式我们可以得到不等式nn n n e n )2(!)(<<，但是很难从2到e 之间找到一个数来改进ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，于是尝试将ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为)0(>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ααn e n n。

令)0(!)(!>=⋅=-αααne n n n enn x n n n n ，则 比较α++n n)11(与e 的大小转化为比较它们的对数大小： )1ln()()11ln(nn n n n ++=++αα与1ln =e 的大小。

由级数展开公式：1),531(2)11ln(53<+++=-+x x x x x x 令121+=n x ，则nn x x 111+=-+，于是 ))12(51)12(31121)((2)1ln()(53 +++++++=++n n n n n n n αα（6）1）当21>α时，12)(2+>+n n α，由（6）式可知即e nn >++α)11(，故1)11(1>+=++en x x n n n α因此}{n x 递减，于是a x n n =∞→lim 存在且∞<≤a 0。

如果∞<<a 0，由Wallis 公式会得到一个矛盾。

于是0=a ，即0lim =∞→n n x 。

2）当21<α时，12)(2+<+n n α，将（6）式中的5，7，9···都改为3，可得当n 比较大时，则1)1ln()(<++n n n α，即e nn <++α)11(。

因此}{n x 递增，故b x n n=∞→lim 存在且∞≤<b 0。

如果∞<<b 0，由Ｗallis 公式得到一个矛盾。

于是∞=b ，即∞=∞→n n x lim 。

由上述结论可得，α取21，即将ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为n e n n⋅⎪⎭⎫⎝⎛。

1.4证明斯特林公式斯特林公式[1]：12!lim=-∞→nn n en n n π，即当∞→n 时，n n e n n n -π2~!。

证明：令n en n c nn )(!=，得代入Wallis 公式，可得π=∞→2lim22n n c c n（7）而en c c n n n 211)11(+++=，利用（6）式知e n n >++21)11(，可得 11>+n nc c ，即数列}{n c 是递减正项数列。