2020年宁夏银川九中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 2， C. D.2.已知i为虚数单位，则复数A. B. C. 2i D. 13.高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为A. 15，42B. 15，43C. 14，42D. 14，434.已知，则A. B. C. D.5.若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度7.函数的部分图象大致为A. B.C. D.8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是A. B. C. D.9.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为A. B. C. D.10.更相减损术出自九章算术，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图，则输出的a的值为A. 14B. 12C. 7D. 611.已知正方体的棱长为2，E为的中点，下列说法中正确的是A. 与所成的角大于B. 点E到平面的距离为1C. 三棱锥的外接球的表面积为D. 直线CE与平面所成的角为12.定义在R上的偶函数，其导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．14.若实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．15.已知，，则______．16.已知抛物线C：，过点的直线l与C交于不同的两点，，且满足，以Q为中点的线段的两端点分别为M，N，其中N在x轴上，M在C上，则______的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列中，，，，且．证明：数列是等比数列．求数列的通项公式．18.高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修和选修中任选一题作答，满分10分．某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为．若采用系统抽样法抽样，从编号为的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号．若采用分层抽样法，按照学生选择选修或选修的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修，400名考生选择了选修，在选取的样本中，选择选修的平均得分为6分，方差为2，选择选修的平均得分为5分，方差为用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，E为PB的中点，F是PC上的点．若平面PAD，证明：F为PC的中点．求点C到平面PBD的距离．20.已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且．求椭圆C的方程；已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求面积的最大值；若不存在，说明理由．21.已知函数，．求函数的单调区间与极值．当时，是否存在，，使得成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，已知点，的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求的普通方程和的直角坐标方程；设曲线与曲线相交于A，B两点，求的值．23.已知函数．求不等式的解集；设的最小值为M，正数a，b满足，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2，4，，或，．故选：C．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：原式．故选：A．利用复数的乘法法则即可得出．本题考查了复数的乘法法则，属于基础题．3.答案：A解析：解：由题意可知，每组人数为，即组距为9，所以另外两个学生的学号为，和，故选：A．根据系统抽样的定义，算出每组人数即组距，再利用第一组抽到的学号依次加上组距即可求出所有抽得的学号．本题主要考查了系统抽样，是基础题．4.答案：C解析：解：，，，．故选：C．利用有理指数幂与对数的运算性质分别半径a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．5.答案：A解析：解：双曲线的一条渐近线方程为，，所以，双曲线的离心率为．故选：A．双曲线的一条渐近线方程为，可得m，n的关系，然后求解离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．6.答案：C解析：解：函数，所以只需把函数的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数的图象．故选：C．由左加右减上加下减的原则可确定函数到函数的路线，即可得到选项．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x的系数的应用．7.答案：D解析：解：，则，即是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当且，，排除C，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及利用极限思想是解决本题的关键．难度不大．8.答案：A解析：解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h．由题意可得，，解得，则该圆柱的侧面积是．故选：A．设圆柱的底面圆的半径为r，高为由题意可得，，解出r、h进而得出．本题考查了圆柱的侧面积等于表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：，，，，，，整理可得，，，．故选：D．利用正弦定理由已知可得，又，可求，利用余弦定理可求，解得a，可求b的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：A解析：解：，，，a，b均为偶数；，，，b不为偶数；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，输出，故选：A．根据题意一步一步运算，直到跳出运算．本题考查程序框图，注意每一次循环时，写出所有值，属于基础题．11.答案：D解析：解：如图，对于A，取DC的中点F，连接EF，，则为与所成的角，，，，故A错误；对于B，由于平面，故B到平面的距离即点E到平面的距离，连接角于G，可得平面，而，点E到平面的距离为，故B错误；对于C，三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，为矩形，且，，，四棱锥的高为，设四棱锥的外接球的半径为R，则，解得．三棱锥的外接球的表面积，故C错误；对于D，连接，取的中点H，连接交EC于K，连接CH，HK，，是直线CE与平面所成的角，在直角三角形CKH中，，，，故D正确．故选：D．对于A，取DC的中点F，连接EF，，则为与所成的角，求出角的正切值与比较判断；对于B，把到平面的距离转化为点E到平面的距离，求出点E到平面的距离判断；对于C，三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，由勾股定理列式求出四棱锥的外接球的半径为R，进一步求出外接球的表面积判断；对于D，连接，取的中点H，连接交EC于K，连接CH，HK，可得是直线CE 与平面所成的角，求解三角形得其正弦值判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．12.答案：C解析：解：由，；得：，而，即，即；令；则当时，，即在上是减函数；，故F是偶函数，由，，得，即，，解得：，故选：C．由，，变式得，构造函数；结合题意，得出在是减函数；根据偶函数的性质解决即可．本题考查了导函数的应用，难点是结合题型，对符合函数的逆向求导，构造函数，根据导函数的性质解决实际问题．技巧性较强．13.答案：5解析：【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题．【解答】解：因为，，所以，又，则，解可得．故答案为：514.答案：4解析：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式．由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，解得最大值为：．故答案为：4．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：，两边平方，可得，，由，可得，，，解得，，，．故答案为：．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求，可得，结合范围，可求，解得，的值，进而根据同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：2解析：解：过点的直线l的方程设为，代入抛物线方程，可得，所以，，可得；设直线PM的方程为，联立抛物线方程，可得，设，所以，，由Q为MN的中点，且N在x轴上，可得，即有，可得，则，当即轴时，取得最小值．故答案为：2，．过点的直线l的方程设为，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得a的值；再设直线PM的方程为，联立抛物线方程，设，运用韦达定理和中点坐标公式，可得，再由弦长公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.答案：解：因为；又，，；数列是首项为2，公比为2的等比数列．由得；；，当时，适合上式，故．解析：把已知递推关系式整理即可证明结论；利用第一问的结论以及叠加法即可求解．本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的证明，属于中档题目．18.答案：解：根据系统抽样法知，抽样间隔为100，所以最大编号为．样本中选择选修的考生有6人，的考生有4人，所以得分平均数为；从选择选修的考生中抽取6人，分别记为，，，，从选择选修的考生中抽取4人，分别记为，，，，则，所以，同理，所以样本得分的方差为：．所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为，方差为．解析：根据系统抽样法求出抽样间隔和最大编号；根据分层抽样法求出抽取数据，计算平均数和方差．本题考查了抽样方法与平均数和方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.答案：证明：因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因为平面PBC，平面PAD，所以可设平面平面，又因为平面PBC，所以．因为平面PAD，平面PBC，所以，从而得．因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．解：因为底面，所以，，所以．设点C到平面PBD的距离为d，由，得，即，解得．解析：由线面平行的判定定理可得平面PAD，再由线面平行的性质定理可得，进而得到所求结论；运用线面垂直的性质定理，结合勾股定理求得PB，PD，BD，由三角形的面积公式可得三角形PBD的面积，设点C到平面PBD的距离为d，由，运用棱锥的体积的公式，计算可得所求值．本题考查空间线面平行、垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用等积法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．20.答案：解：双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率为，，即，即，，椭圆的方程为；过左顶点A的直线l的斜率显然存在，设为k，方程设为，可得，且，，设，由可得，则，即，即有，在平面内假设存在一定点P，使得恒成立．可得，由于上式恒成立，可得，即有，且，可得，，则存在，使得恒成立．此时，当时，；当时，，当且仅当，即时，取得等号．综上可得，的最大值为．解析：求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，结合顶点的概念和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，可得D 的坐标，由，，设，在平面内假设存在一定点P，使得恒成立，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，结合恒等式的性质，可得m，n，可得P的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求三角形的面积的最大值．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查三角形的面积的最值求法，以及恒成立思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：，，当时，恒成立，函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值，当时，当时，此时函数单调递增，当时，，此时函数，单调递减故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值，综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值．当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值，当时，假设存在，，使得成立则对，满足，，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，由可知，当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是，当，即时，函数在上单调递增，所以的最小值是，当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减．又，，所以当时，在上的最小值是．当时，在1，上的最小值是，所以当时，在上的最小值是，故，解得，所以，当时，函数在上的最小值是，故，解得，所以．故实数m的取值范围是解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，由题意可得，对，满足，结合导数及单调性关系可求．本题综合考查了导数与单调性的关系及函数的存在性问题的求解，属于难题．22.答案：解：由的参数方程为参数，消去参数t，可得，由曲线的极坐标方程，得，由，，所以的直角坐方程为，即．因为在曲线上，故可设曲线的参数方程为为参数，代入，化简可得，设A，B对应的参数分别为，，则，且，，所以．解析：由代入消元法，消去t可得的普通方程；由，，代入计算可得的直角坐标方程；判断M在上，设出曲线的参数的标准方程，代入曲线的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：．，或或，即以或或，不等式的解集为．，，，，要证，只需证，即证，，只要证，即证，即证，，只需证，，成立，．解析：先将写为分段函数的形式，然后根据利用零点分段法解不等式即可；先利用绝对值三角不等式求出的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。