1 16 ln 10 结果 ：T(10)=18+42e 3 21 =25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响.
(1)
r1 r2 h(t) h+Δh
在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为 ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记
令Δt
0, 得
r 100 (100 h) 200h h
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战 斗， x(t)与y(t)都是连续变量.
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 平衡式
改写模型
假设1*
dS A( t ) p ( M S ( t )) S ( t ) dt M
假设2*
市场余 额 销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.
dT k (T m ), dt T (0) 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
1 16 代入条件，求得c=42 ，k=－ ln , 最后得 3 21 1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
？
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流 量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即
dV Q 0.62S 2 gh dt
S—孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) —水面高度（单位：厘米）
t—时间（单位：秒） 当S=1平方厘米，有
dV 0.62 2 ghdt
第五章 机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对的 现认 实识 对来 象源 *与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识. *通过对数据和现象的分析对事 物内在规律做出的猜想(模型假设).
模型特点：有明确的物理或现实意义
0 t ; t .
M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度. 直接建立微分方程
dS S (t ) pA( t )(1 ) S ( t ) dt M
称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力.
模型分析：是否与前三条假设相符？
5.1 微分方程的建立
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 直接求 很困难 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
？
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边 际的” ，常涉及到导数. 常 用建 微立 分方 方法 程
运用已知物理定律
利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法
机理分 析法
一. 运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍 例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售速度 的增高而降低； *3. 选择如下广告策略，t时刻的广告商品的销售速度；
A, A( t ) 0,
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是： {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} 更般 一化 基本模型
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程.
即有 同理 令Δt
Δx =－ayΔt, Δy =－bxΔt,
0, 得到微分方程组：
dx ay, a 0 dt dy bx, b 0 dt
三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.
例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间. 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 ．整个放水过程无能 2 米 量损失。 分析： 放空容器
2
2
2
dV=－πr2 dh，
（2）
比较(1)、(2)两式得微分方程如下： 2
0.62 2 ghdt (200h h )dh, h 100 . t 0

3 (700000 1000 h2 5 3h 2 )
积分后整理得
t
4.65 2 g
0≤h≤100
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分. 四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立 例5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与T m成正比 dt
数学语言
建立微分方程