学号 **************密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋********二○一二年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYMatrix diagonalization of the necessary and sufficient conditionCollege : MathematicsSubject : Mathematics and Applied MathematicsName : Lian LifengDirected by : Li XudongMay 2012郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。

尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。

本学位论文的知识产权归属于培养单位。

本人签名 : 日期 :摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化ABSTRACTMatrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given．Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization目录第1章绪论 (1)第2章矩阵可对角化的概念 (2)2.1特征值、特征向量的概念 (2)2.2矩阵可对角化的概念 (2)第3章矩阵可对角化的充分必要条件 (4)3.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)3.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)第4章矩阵可对角化的应用 (9)第5章结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)第1章绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。

研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。

相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。

而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。

矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。

人们对此研究得出了很多有用的结论。

诸如一些充要条件：n阶方阵A可以对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量；方阵A可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。

然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。

但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

12第2章 矩阵可对角化的概念2.1 特征值、特征向量的概念定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征向量。

2.2 矩阵可对角化的概念定义2 设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足i i i P AP λ=()n ,1,2,i =，则这个方程可以写成()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21, （1） 我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。

引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

证明 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组3()0=-XI A i λ的基础解析所含向量的个数，所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

4第3章 矩阵可对角化的充分必要条件3.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性 假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()n P P P P P P 12111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有n I AP P =-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21， 即充分性得证。

（2）必要性 令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()Tn d d d D ,,,21 =则PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P d ,,,2211 )即有i i i P d AP =()n ,1,2,i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。

定理2 设 n n P A ⨯=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有，()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

5条件(2)还可改述为：令有()[]n A n ri i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。

证明 设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量rrrt r t t ααααα,,,,,,,,111111一定线性无关。

如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。

若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n 。

若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是属于特征根j λ的特征向量，则j η可由j t j j αα,,1 线性表出，从而可由向量组rrrt r t t ααααα,,,,,,,,111111线性表出，于是，rank{n ηηη,,,21 }≤rank{ttr t r αααα,,,,,,11111}=n t t t r <+++ 21与n ηηη,,,21 线性无关矛盾。