一、行列式
1.排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组
12……
n。

2.逆序：在一个级排列
12……
n
中，如果有较大的数
t
排在较小的数
s
前面，
则称与构成一个逆序。

一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。

3.定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。

定理2：个数码（>1）
共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。

4.用2个元素(=1,2, ……)组成的记号
称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。

称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为
其中
12…n 构成一个级排列，当
12…n
取遍所有的级排列时，则得到阶
行列式表示的代数和中所有的项。

5.主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。

6.主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0
为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。

7.行列式性质1 行列式转置，值不变，即D T=D
8.性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D
1
=D。

9.性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D
1
=D。

10.性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行
列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）
对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D
1+D
2
11.推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。

②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。

③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。

④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位
置的元素上，行列式值不变。

12.余子式M:在阶行列式D=||中去掉元素所在的第行第列后，余
下的-1阶行列式。

13.代数余子式A：在余子式M前添加符号（-1）i+j。

14.阶行列式D=||等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式
乘积的和。

15.克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解，特殊：
齐次线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有零解，D=0时，有非零
解。

二、矩阵
1.矩阵：由m×n个数（=1，2，…,m;=1, 2, …, n）按一定次序排列成
的一个m行n列的矩形表。

2.相等：两个矩阵A,B有相同的行数与列数，且对应位置上的元素均相等。

3.矩阵的和：两个m行n列矩阵A=,B=()对应位置元素相加得到的m
行n列矩阵。

4.数乘：以数k乘矩阵A的每一个元素，记作kA。

5.区别：矩阵提公因子是矩阵所有元素都乘公因子，公因子提一次；行列式提
公因子是一行（列）提一次，若所有元素都有公因子，则外提n次公因子。

6.相乘条件：设矩阵A=的列数与矩阵B=的行数相同。

7.矩阵乘法不满足消去律和交换律，AB=0不能推出A=0或B=0；AB=AC，A≠0
不能推出B=C；一般情况下AB≠BA，相乘必须注意顺序。

8.转置：将矩阵的行与列互换，有下列性质
9.逆矩阵：对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E。

逆矩阵是唯
一的，记作A-1，单位矩阵的逆矩阵是其本身。

10.伴随矩阵：由行列式A=||的元素的代数余子式构成的矩阵。

11.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A≠0，当A可逆时，有A-1=A*
12.初等变换求逆矩阵：①交换矩阵的两行（列）
②以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）
③把矩阵的某一行（列）的倍加于另一行（列）上
④（A E）→仅行初等变换→（E A-1）
13.设A为m×n阶矩阵，若A中不为零的子式的最高阶数为r,即存在r阶子式
不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r
14.矩阵初等变换后，其秩不变。

15.若m×n阶矩阵A中，m＜n，则一定r(A)＜n
三、线性方程组
1.线性方程组有解的充分必要条件是r(A,b)=r(A),且当r(A,b)=n时有唯一
解，当r(A,b)＜n时有无穷多解，n是未知量的个数。

2.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是r(A)＜n
3.对于给定向量，，，…,,若存在一组数，，…,,使关系式
成立，则称向量是向量组，，…,的线性组合，或称向量可以由
向量组，，…,线性表示。

4.向量可以由向量组，，…,线性表示都重复必要条件是：以，
，…,为列向量的矩阵与以，，…,，为列向量的矩阵有相同的秩。

（对应于线性方程组有解的充分必要条件是r(A,b)=r(A)）
5.向量组等价：两向量组可以互相线性表示。

自反性：任一向量组与其自身
等价。

对称性：若向量组（A）与（B）等价，则向量组（B）与（A）等价。

传递性：若向量组（A）与（B）等价，向量组（B）与（C）等价，则向量
组（A）与（C）等价。

6.对于向量组，，…,，若存在一组不全为零的数，，…,使关
系式
成立，则称向量组，，…,线性相关，（对应于齐次线性方程组有非零解，即r(A,b)=r(A)＜n)；若当且仅当…==0时成立，则称向量组，，…,线性无关。

（对应于齐次线性方程组仅有零解，即r(A,b)=r(A)=n）
7.向量组，，…,线性相关的充分必要条件是：以，，…,为列
向量的矩阵的秩小于向量的个数n(即齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)＜未知数的个数n)；向量组，，…,线性无关的充分必要条件是：以，，…,为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n(即齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=未知数的个数n)
8.如果，，…,是，，…,的线性无关部分组，它是极大无关
组的充分必要条件是：，，…,中每一个向量都可由，，…,
线性表示。

9.向量组的秩：向量组，，…,的极大无关组所含向量的个数
10.求一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示：
一般用此向量组构造矩阵A，各向量作为A的列向量，并将A简化为阶梯形矩阵。

11.若，，…,是齐次线性方程组的解向量的一个极大线性无关组，则称
，，…,是此方程组的基础解系。

12.齐次线性方程组的全部解为c
1+ c
2
+…+(c
1
, c
2
,…为任
意常数)
13.Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b的导出组
14.若是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的全部解，则非齐次线性
方程组的全部解为=+=+ c
1+ c
2
+…+(c
1
, c
2
,…为任意
常数)。