实验10 符号计算基础与符号微积分（第7章 MATLAB 符号计算）一、实验目的二、实验内容1. 利用符号表达式求值已知x=6,y=5，利用符号表达式求z =提示：定义符号常数x=sym(‘6’)，y=sym(‘5’)。
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：2. 分解因式(1) x 4-y 4 (2) 5135程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：《数学软件》课内实验王平3. 化简表达式21212483(1)sin cos cos sin (2)21x x x ββββ++-+4. 符号矩阵运算已知12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦完成下列运算：(1) B=P 1·P 2·A 。
(2) B 的逆矩阵并验证结果。
(3) 包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵。
(4) B 的行列式值。
5. 用符号方法求下列极限或导数sin tan 301(1)2(1)1cos(2)(1)lim (2)lim ,',''sin x x x x x e e x y y y x x +→→-+---=求3222(4),,,cos ln x a t dA d A d AA dx dt dxdt t x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知分别求程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：22220,1(5)(,)(2),,x y xyx y y f f x y x x ex x y---==∂∂=-∂∂∂已知求6. 用符号方法求下列积分48(1) (2)1dx x x ++⎰程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：ln 224001(3) (4)(1)1x x x dx e e dx x +∞+++⎰⎰ 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：三、实验提示四、教程：第7章 MATLAB 符号计算(1/2)7.1 符号计算基础 p192 7.1.1 符号对象1. 建立符号变量和符号常量(1) sym 函数符号量名=sym('符号字符串')☞ 建立单个符号字符串。
☞ 符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
☞ 符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。
例（符号变量与数值变量）p192例（符号常量与数值常量）p193符号常量与数值常量在代数运算时的差别。
(2) syms命令syms 符号变量名1 符号变量名2 …☞定义多个符号变量。
☞不要在变量名上加字符串分界符(')。
☞变量间用空格而不用逗号分隔。
2. 建立符号表达式含有符号对象的表达式称符号表达式。
3种方法：(1)用单引号。
(2)用sym函数。
(3)用已经定义的符号变量。
例（建立符号表达式）p1947.1.2 基本的符号运算p1941．符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^运算符实现，运算结果依然是符号表达式。
2．符号表达式的提取分子和分母运算[n,d]=numden(s)提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
例（提取分子分母运算）p1963．符号表达式s的因式分解与展开 factor(s) 分解因式expand(s)展开collect(s)合并同类项collect(s,v)按变量v合并同类项例（因式分解与展开）p1974．符号表达式的化简simplify(s) 应用函数规则化简。
simple(s) 调用MATLAB的其他函数综合化简，并显示化简过程。
例（化简）p197>> s=log(2*x/y+1/y);5．符号表达式与数值表达式之间的转换sym 数值表达式变换成符号表达式。
eval 符号表达式变换成数值表达式。
例（符号表达式与数值表达式之间的转换）p1987.1.3 符号表达式中变量的确定p198findsym(s,n)☞查找一个符号表达式s中的n个符号变量。
☞若没有指定n，返回全部符号变量。
应用：☞在求极限、导数和积分时，若未指定自变量，则按默认原则确定变量。
☞可用findsym(s,1)查找系统的默认变量。
☞按离x最近原则确定默认变量。
例（查找符号变量）p199例（默认变量）p1997.1.4 符号矩阵 p199transpose(s) 返回s 矩阵的转置矩阵。
diag 、triu 、tril 、inv 、det 、rank 、eig 等。
例（符号矩阵）p199利用sym 函数建立符号矩阵并化简。
33222sin cos 153785a b m xy x x y αα⎡⎤-+⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例（符号矩阵函数）p200例7.1（符号矩阵）求解齐次线性方程组p200当λ取何值时，齐次线性方程组：123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩表 符号计算基础函数p192~2017.2 符号函数及其应用 p201 7.2.1 符号函数的极限(1) limit(f,x,a)：x 趋近于a 时的极限。
(2) limit(f,a)：系统默认变量趋近于a 的极限。
(3)limit(f)：系统默认变量趋近于0的极限。
(4)limit(f,x,a,'right')：x从右边趋近于a的极限。
(5)limit(f,x,a,'left')：x从左边趋近于a的极限。
例7.2 求下列极限p201sin()sin() (1)(2)lim(3)lim)(4)limx a xx x ax a x axx x+→→→+∞→+--7.2.2 符号函数求导及其应用p202(1)diff(s)：默认变量对s求一阶导数。
(2)diff(s,'v')：v对s求一阶导数。
(3)diff(s,n)：默认变量对s求n阶导数。
(4)diff(s,'v',n)：v对s求n阶导数。
s为符号表达式。
例7.3 求下列函数的导数p202'''''22222'' (1)'(2)cos,'','''cos(3),,(4),,sin(5)(,),yx x x yx y y y y x xy yx a t xey y z z z y a t yz f x y x y z a z===⎧=⎨=⎩=++=求求求求由方程定义,求z例7.4 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行p203表 符号函数的极限和导数p201~2047.3 符号积分 p204 7.3.1 符号函数的不定积分(1) int(f)：按默认变量对被积函数或符号表达式f 求不定积分。
(2) int(f,v)：以v 为自变量，对被积函数或符号表达式f 求不定积分。
例7.5 求下列不定积分p2042322(1)(3)(2)sin 5(3)(4)1tx dx xdx xte dtdtx α-+⎰⎰⎰⎰7.3.2 符号函数的定积分p205int(f,v,a,b)求被积函数f 在区间[a,b]上的定积分。
a 和b 可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
☞ 当f 关于变量v 在[a,b]上可积时，返回一个定积分结果。
☞ 当a,b 中有一个是inf 时，返回一个广义积分。
当a,b 中有一个符号表达式时，返回一个符号函数。
例7.6 求下列定积分p20522133sin 10221(1)|1|(2)14(3)(4)(1)x x dxdxx x x dx dtx t +∞-∞-+-⎰⎰⎰⎰例7.7 求椭球的体积p2052222221x y z a b c ++= 用平面Z=z0(z0≤c)去截取上述椭球时，其相交线是一个椭球，该椭球在xy 平面投影的面积是：222()()ab c z s z c π-=椭球的体积：()ccV s z dz -=⎰例7.8 求空间曲线c 从点(0,0,0)到点(3,3,2)的长度p206设曲线c 的方程是：23332x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩求曲线c 的长度是曲线一型积分问题。
曲线的起点和终点分别对应t=0和t=1。
曲线积分转化为定积分的公式是：1(,,)((),(),(cf x y z f x t y t z t =⎰⎰7.3.3 积分变换p206积分变换是通过积分运算把一个函数f （原函数）变成另外一个函数F （像函数）。
变换过程是：()()(,)btF t f x K x t dx =⎰其中K(x,t)称为变换的核，它决定变换的不同名称。
应用：☞ 若难从原方程求解f ，则对原方程变换；☞ 若从变换后的方程中求解F ，则对F 逆变换； ☞ 得原方程的解f 。
1. 傅里叶（Fourier ）变换当K(x,t)=e -itx （i 为虚数单位）时，称()()itx F t f x e dx +∞--∞=⎰为傅里叶变换，其逆变换为1()()2itx f x F t e dx π+∞-∞=⎰(1) fourier(f,x,t)：求f(x)的像函数F(t)。
(2) ifourier(F,t,x) ：求F(t)的原函数f(x)。
例7.9 求函数y=|x|的傅里叶变换及其逆变换p2072. 拉普拉斯（Laplace ）变换当K(x,t)=e -tx 时，称()()tx F t f x e dx +∞-=⎰为拉普拉斯变换，其逆变换为()()tx f x F t e dx +∞=⎰(1) laplace(f,x,t)：求f(x)的像函数F(t)。
(2) ilaplace(F,t,x) ：求F(t)的原函数f(x)。
例7.10 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换p2073. Z 变换当f(x)呈现为一个离散数列f(n)时，称()()n n F z f n z +∞-==∑为Z 变换，其逆变换为11()()2n f n F z z dz iπ-Γ=⎰ (1) ztrans(fn,n,z)：求fn 的像函数F(z)。
(2)ztrans(Fz,z,n)：求Fz的原函数f(n)。
例7.11 求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换p208表符号积分函数p204~208。