即:Prja b = a ⋅b = ea ⋅ b |a|
λ ( µ a) = (λµ )a
(λ + µ ) a = λ a + µ a
a ⋅ b = (ax , a y , az ) ⋅ (bx , by , bz ) = ax bx + a y by + az bz a ⋅ a =| a |2 a ⋅b = b⋅ a a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (λ a ) ⋅ ( µ b) = λµ (a ⋅ b)
向量的投影
定积分的分部积分法
b a b
′ uv′ d x = [uv]b a − ∫ vu d x
a
b
向量a在b上的投影, 记为 Prjb | a | cos(a ^ b )
向量的模 向量a = (ax , a y , az )的模为
a
u d v = [uv] − ∫ v d u
b a a
b
m = 1, 2, 3,⋯
或 ∫ u d v = uv − ∫ v d u
∫ sec x tan x d x = sec x + C ∫ csc x cot x d x = − csc x + C ∫e d x = e +C
x x
定积分的换元法 设函数f ∈ C[a, b].如果函数x = ϕ ( x)满足：
(1)ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b, 且ϕ ([α , β ]) ⊆ [a, b] 或ϕ ([ β ,α ]) ⊆ [a, b]; (2)ϕ ′ ∈ C[α , β ](或ϕ ′ ∈ C[ β ,α ]) 那么： ∫ f ( x) d x = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) d t
过M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以s = (m, n, p )为方向向量 的直线L的方程为 x = x0 + tm y = y0 + tn . z = z + tp 0
2． 对称式方程（点向式方程）
s = (m, n, p ), n = ( A, B, C ), 则夹角公式为: | n⋅s | | Am + Bn + Cp | sin ϕ = = | n || s | A2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 直线L和平面Π 相互垂直的充要条件是: A B C = = ; m n p 相互平行的充要条件是: Am + Bn + Cp = 0.
向量a与b的夹角满足公式 cos θ = a ⋅b (其中0 ≤ θ ≤ π ) | a || b | ax bx + a y by + az bz
2 2 2 ax + ay + az2 ⋅ bx2 + by + bz2
λ ( a + b) = λ a + λ b
3．不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
向量的向量积
设a和b是两个向量, 规定a与b的向量积是一 个向量,记作a × b, 它的模与方向分别是: (i ) | a × b |=| a | × | b | sin θ 其中θ = (a ^ b) 右手法则.
ax = bx cx
(
)
ax bx cx
(ii )a × b同时垂直于a和b, 并且a, b, a × b符合
| a |= ax 2 + a y 2 + az 2
向量的数量积（点积、内积） a ⋅ b =| a || b | cos θ
第五章 向量代数与空间解析几何
向量的运算
143;a
( a + b) + c = a + (b + c )
2．向量与数的乘法（数乘）
a⋅0 = 0⋅a = 0 a ⋅ b =| a | Prja b =| b | Prjb a
向量的混合积
平面的夹角
cos θ =
n1 ⋅ n2 = | n1 || n2 |
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
2 A12 + B12 + C12 A22 + B2 + C22
3
同济二版 微积分(下)
平面Π1和Π 2 相互垂直的充要条件是: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 相互平行的充要条件是: A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
基本积分表
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u ∫ f ( x) d x = [ f [φ (t )]φ ′(t ) d t ] φ
t=
−1
u =ϕ ( x )
(x)
积分公式 x dx 1 ∫ a 2 + x 2 = a arctan a + C x dx ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
∫
dx
2
2
2
d x = arctan x + C d x = arcsin x + C
∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | +C ∫ csc x d x = ln | csc x − cot x | +C ∫ ∫
dx x +a dx x −a
2 2 2
= ln x + x 2 + a 2 + C (a > 0) = ln | x + x 2 − a 2 | +C
旋转曲面 若在曲线C的方程f ( y, z ) = 0中z保持不变而
过M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以s = (m, n, p )为方向向量 的直线L的方程为 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
3． 一般方程
直线L可以看作两个平面 Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0与 Π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0的交线.空间一点 M ( x, y, z )在直线L上,当且仅当它的坐标x, y, z 同时满足Π1与Π 2的方程,的下面的直线方程: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. A B C 其中 1 = 1 = 1 不成立. A2 B2 C2
∫ k d x = kx + C (k = 1时, ∫ d x = x + C )
µ ∫x dx=
x µ +1 +C µ +1
∫ x d x = ln | x | +C ∫ 1+ x ∫
1 1 − x2 1
2
1
bx 1 = arcsin + C (a > 0, b > 0) b a a −b x dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C
(
)
∫ cos x d x = sin x + C ∫ sin x d x = − cos x + C
1 2 ∫ cos2 x d x = ∫ sec x d x = tan x + C 1 2 ∫ sin 2 x d x = ∫ csc x d x = − cot x + C
2
不定积分的分部积分法 ∫ uv′ d x = uv − ∫ u′v d x
4．单位向量
ea =
a |a|
空间两点间的距离公式
若a = (ax , a y , az ), b = (bx , by , bz ), 则 cos θ =
| PP ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 1 2 |=
向量的坐标表示
2
同济二版 微积分(下)
a b
∫a
x
dx=
a + C (a > 0, a ≠ 1) ln a
x
β
∫ sinh x d x = cosh x + C ∫ cosh x d x = sinh x + C
不定积分线性运算法则 ∫ [α u ( x) + β v( x)]d x = α ∫ u ( x) d x + β ∫ v( x) d x
a −a
M 1M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
方向角与方向余弦
f ( x) d x = 0 f (sin x) d x = ∫ 2 f (cos x) d x
0
π
π
方向余弦 : cos α =
π
2 0
ay ax a , cos β = , cos γ = z |a| |a| |a|
[abc ] = [bca] = [cab]
三向量a, b, c共面的充要条件是 ay by cy az bz = 0 cz
a × b = −b × a 0× a = a ×0 = 0 a×a = 0 ( a + b) × c = a × c + b × c (λ a ) × ( µ b) = λµ (a × b)
若a = (ax , a y , az ), b = (bx , by , bz ), 则
( a × b) ⋅ c = ay by az bz ay by cy cx + az bz cz az bz ax bx cy + ax bx ay by cz