实际问题与一元二次方程题型归纳总结
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；
（2）找：找出等量关系；
（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
（4）列：列出一元二次方程；
（5）解：求出所列方程的解；
（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
（7）答：作答。
二、典型题型
1. 数字问题
例 1、有两个连续整数，它们的平方和为 25，求这两个数。
例 2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的
个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于 1008，求调换位置后得到的两位数。
练习： 1、两个连续的整数的积是 156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，
则这个两位数为（）
A. 25
B. 36
C. 25 或 36
D. -25 或-36
2. 传播问题：公式：（a+x）n=M 其中 a 为传染源（一般 a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数
例 3 、有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
3. 相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题
循环问题：又可分为单循环问题］n（n-1），双循环问题n（n-1）.
2
例4、（ 1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛, 共有多少个队参加比赛？
（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有
多少个队参加比赛？
例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66,请问参加
会议的人数共有多少人？
例&生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全
组共互赠了 182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A. x x 1 182 B. xx 1 182 C. 2x x 1 182 D. x x 1 182 2
练习：1、甲A联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？
2、参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手15次,有多少人参加聚会？
3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片,有多少人？
4. 平均增长率问题：b=a（1 ± x）n，n为增长或降低次数，b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10%,从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
例 8 、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200元下调至 128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？
练习： 1、恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率 .
2、从盛满 20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精 5 升．问每次倒出溶液的升数？
5. 商品销售问题
例 9、某商店购进一种商品，进价 30 元．试销中发现这种商品每天的销售量 P （件）与每件的销售价X（元）满足关系：P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种
商品要获得 200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
例 10、益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元，则可卖出（350— 10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%,商店计划要盈利 400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？
练习： 1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降 10元时，月销售量就会增加 7.5 吨。
综合
考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100
元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为 9000元。
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？请说明理由。
2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500
千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
6. 形积问题
例11、如图，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直），把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽？
A D E
C F
' ....... ■■......... 2X <
例12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为 4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积1536cm?，求长方形铁皮的长与宽
练习：1、一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是24cm，两条直角边的长分别是。
2、为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为______ 米，宽为_____ 米。
7. 动点几何问题
例13、如图，△ ABC中，/ B=90° , AB=6 BC=8点P从点A开始沿边AB向点 B以1cm/s的速度移动，与此同时，点 Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s 的速度移动•如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动：
(1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2
2)A PBQ勺面积会等于10cm2吗？会请求出此时的运动时间，若不会请说明理
由.
例14、已知矩形ABCD勺边长AB=3cm BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿
AB方向以1cm s的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D出发沿DA方向以 2cm s的速度向A点匀速运动，则经过多长时间，△ AMN的面积等于矩形 ABCD
1
面积的丄?
9
练习：已知：如图所示，在△ ABC中， B 90 ,AB 5cm, BC 7cm.点P从点 A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s的速度移
动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于4cm?( 2)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?( 3)在(1)中，△ PQB的
面积能否等于7cm2?说明理由.
互赠了 182件，这个小组共有多少名同学?
课后作业：
1.生物兴趣小组的学生,
2.要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排 28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？
3.国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策•现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为 70元，不加收附加税时，每年产销100 万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元（叫做税率X%）,则每年的产销量将减少10X万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为 168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过50万条，问税率应确定为多少？国家征收的附加税金总额=香烟的销售额（即单价X销售量）X征收的税率.
4. 合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存•经市场调查发现：如果每件童装降价 4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利 1200元，那么每件童装因应降价多少元？
5. 在一幅长80cm宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm，求需要金色纸边的宽是多少？
6. 如图所示，某小区规划在一个长为 40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与 AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度.。