函数的基本性质
【要点】1．单调性：若对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,,21x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在这个区间上是增函数;
2．奇偶性：若函数)(x f 对于定义域内的任意自变量x ，都有)()(x f x f =-成立，那么就说函数)(x f 是偶函数;
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反之亦然.
4．函数的单调性证明方法：比较法（以比差法为主，兼顾比商法）
5．函数奇偶性的判定：
①函数的定义域必须是关于原点的对称区间；
②＂对定义域内任一个x ＂：都有)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-。

重点知识回顾：:
1. 单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________．
2. 奇偶函数的性质
(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____；
f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.
3. 奇函数在对称的单调区间内有________的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______
的单调性．
4. 函数y ＝x ＋a x
(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调________；在(－a ，0)，(0，a )上单调________；函数y ＝x ＋a x
(a <0)在____________上单调递增． 5. 函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝______，则称f (x )为______函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________．
6. (2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T 2
)． ②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．
③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )
或f (x ＋a )＝－1f (x )
(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数． 基础训练
1. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）
（A ）R x x y ∈-=,3 （B ） R x x y ∈=,sin
（C ） R x x y ∈=, （D ） R x x y ∈=,)2
1(
2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．)2()1()23(f f f <-<-
B ．)2()2
3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()2
3()2(-<-<f f f 3. 已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．10-
4. 22()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____ 5. (2015·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)＝________.
例题分析：
1. 函数)2(log ax y a -=在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是:
（A ）()1,0 （B ）()2,0 （C ）()2,1 （D ）()+∞,2
2. 函数11-=x y 的单调性的正确说法是( )． （A ）单调递减函数 （B ）在(－∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数
（C ）在(－∞，1)上是减函数，在(1，+∞)上是减函数
（D ）除x =1点外，在(－∞，+∞)上是单调递减函数
3. 已知函数)(x f y =在)2,0(上是增函数，函数)2(+x f 是偶函数，则（ ）．
(A) )27()25()1(f f f << (B) )2
5
()1()27(f f f <<
(C) )1()25()27(f f f << (D) )2
7()1()25(f f f << 4. 已知函数22-++=a bx ax y 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数，则a = ;b = .
5. 已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，当0<x 时，)(x f 的表达式为 .
6. 若a x x x f +-+=)2lg()(2为奇函数，则实数a 的值为 .
7. （Ⅰ）证明函数x
1x )x (f +=在),1[+∞上单调递增； （Ⅱ）试利用（I ）中的结论，求函数4
x 5x )x (g 22++=的最小值．
8. 已知函数)(x f 和)(x g 的图像关于原点对称，且ax x x f 2)(2+=．
（Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；
（Ⅱ）若当21≤≤-x 时，函数)(x g y =的最大值为2，求实数a 的值．
9. 设函数)x (f y =是定义在+R 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数y x 、，
都有)y (f )x (f )xy (f +=；（2）当1x >时，0)x (f <；（3）1)3(f -=，
（I ）求)1(f 、)9
1
(f 的值； （II ）如果不等式2)x 2(f )x (f <-+成立，求x 的取值范围．
（III ）如果存在正数k ，使不等式2)x 2(f )kx (f <-+有解，求正数k 的取值范围．
10. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的a ，R b ∈，当b a -≠时，都有
0)()(<++b
a b f a f ． （1）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）如果对于任意的∈x [0，2ln ]，不等式0)e 4()e 2e (2≥-+-x x x k f f 恒成立，试求
常数k 的最小值．。