反“韦达定理”的应用在一元二次方程20ax bx c ++=中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：12b x x a +=-，12c x x a =，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理12x x -，2212x x +，1211x x +之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,x x 的不同系数的代数式的应算，比如求12x x ，12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了。
特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种12x x λμ+中12,x x 的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用。
1.函数131)(23++-=x ax ax x f 在21,x x 处有极值，且5112≤<x x ,求a 的取值范围；解：令012)(2'=+-=ax ax x f ，则有221=+x x ，ax x 121=⋅。
令21x t x =，则21x tx =（15t <≤），得211(1)x x t x +=+，2121x x tx =，所以tt x x x x 212212)1()(+=+，即214++=t t a ，因为51≤<t ，解得591≤<a 。
点评：像这种非对称的结构21x tx =，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来。
21x tx =，得211(1)x x t x +=+，2121x x tx =，所以()()2212121x x t x x t++=2.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A、B 两点，则APPB的取值范围为.解析：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()45544922=+++kx x k （*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ，注意到1122x x AP PB x x ==，令λ=21x x ，则12x x λ=，所以()1221x x x λ+=+，2122x x x λ=，所以()()2212121x x x x λλ++=，即.20453242122+=++k k λλ在（*）中，由判别式,0>∆可得952>k ，从而有5362045324422<+<k k ，所以536214<++<λλ，解得551<<λ.结合10<<λ得151<<λ.综上，151<≤PBAP.小结：12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点,A B ，且满足QA QB λ= 之类的，或者是QA QB 之类的。
其中QA QB λ= ，用坐标表示出来后，就可以选择一个较简单的式子来转化到韦达定理；QAQB我们可以设他们的比值为λ，这样可以转化到QA QB λ= ，再用同样的办法来解决。
3.设椭圆C：22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F，过点F 的直线与椭圆C 相交于A，B 两点，直线l 的倾斜角为060,2AF FB =.⑴求椭圆C 的离心率；⑵如果154AB =，求椭圆C 的方程.解析：⑴由题意得(),0F c -，设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得10y <，20y >，2AF FB =可得122y y =-，即()2121212y y y y +=-，直线l的方程为)y x c =+，由)2222x 1y x c y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224330a b y cy b +--=，所以21222233cy y a b +=+，4122233b y y a b -=+。
代入()2121212y y y y +=-，可得2224142c a c =-，即23c a =，所以椭圆C 的离心率为23。
⑵222431534AB a b==+，所以53b a =，由⑴23c a =，解得3a=，b =C 的方程为22195x y +=4.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(P ，且离心率为22。
⑴求椭圆C 的方程；⑵记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程。
解析：⑴22184x y +=⑵由题意得()0,2A ，()0,2B -，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，由224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221216240k x kx +++=，所以1221612k x x k -+=+，1222412x x k =+。
直线AN 的方程为2222y y x x --=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=，联立22112222y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x -++-===++++（12,x x 的系数出现了不对称）解法一：暴力法：由()221216240k x kx +++=得不妨设12812k x k --=+，22812k x k -+=+，代入()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x -++-===++++2222241644621121223244812461212k k y k k y k k --+-=-+++，（这里12,x x 的值可以交换）解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
解法二：（12,x x 保留一个），即由根与系数关系1221612k x x k -+=+，1222412x x k=+知，1221612kx x k-=-+代入上式()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x -++-===++++，得()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k-⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭====-+++++，解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
解法三：（1212,,x x x x 中，把12x x 转化为12x x +），即由根与系数关系1221612kx x k-+=+，1222412x x k =+，知()121232kx x x x =-+，代入上式()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x -++-===++++，得()()12112121223232123239362x x x x x y y x x x x x-++--===-+-+-++，解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
解法四：带点转化，注意到点()()1122,,,M x y N x y 都在曲线上，所以2211184x y +=，所以()()221111221844y y x y +-=-=，所以()1111222y x y x -=+所以()()()()()121221211212122242222222y y y y y x y y y y y x x x x x --++⎡⎤-----⎣⎦===++由1221612k x x k -+=+，1222412x x k =+，得()121228812y y k x x k +=++=+，()()()221212121228164441612k y y kx kx k x x k x x k -+=++=+++=+，所以22228161624121221242312k k k y y k ⎡⎤-+--+⎢⎥++-⎣⎦==-++，解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
5.椭圆有两顶点()1,0A -、()1,0B ，过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I）当322CD =时，求直线l 的方程；（II）当点P 异于,A B 两点时，求证：OP OQ ⋅为定值。
解析：（I）由已知可得椭圆方程为2212y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率，设()11,C x y ，()22,D x y 。
则由22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210k x kx ++-=，可得1221222212k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()222212122813141222k CD k x x x x k k +=+⋅+-=+=+整理得，22k =，所以k =l ∴的方程为1y =+（II ）由题可得，1,0P k ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =-+，由()()11221111y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩，可得()()211221121212111111y x kx x kx x x x y x kx x kx x +++++==-+-+-，（12,x x 的系数出现了不对称）由12122221,22k x x x x k k -+=-=++，得12222kx x k =--+，代入上式可得，22222222211122211122k k kx x x k k k k k x k k x x k k -⎛⎫++--+ ⎪+-++⎝⎭==--+⎛⎫---+- ⎪++⎝⎭，可得x k =-，即Q x k =-所以()101Q OP OQ k y k⋅=-⋅-+⋅= ，是定值1.注意：1.若用上题法三，即若用由12122221,22k x x x x k k -+=-=++，得()121212kx x x x =+代入后得()()12213122113122x k x x x x k x ++++=-+--，还得用法二的方法12222kx x k =--+代入，所以这里就不写了。