②达到小孔右侧的两电子束的长度相等
由此可写方程
得到
V2T
V1V2
所以V12
eV0，V2
2 2
eV0
m
m
（3） 由于tb
2T，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：
① 电流在空间位置的分布
② 电流强度的大小分布
电子束长度
4、静电势能、电势
例1：如图所示N对e、-e离子，等间距a，沿直线 排列
例2如图两个点电荷位于
X轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则X
轴上多点的电势如图曲线所示，当
x
0时，电势U
;当x
，电势U
0，电势为零
的坐标为x0;电势极小值为
U0的点的坐标为
x0（α>0）,试根据图线提供的信息，确定这两个
点电荷所带电的符号，电量的大小以及在
X轴的位置。
解：由图中信息可知，带正电荷的电荷
)在P点
4
产
生的场强大小.
圈环受到合力在qo ,均为正值时，方向向左，大
小
为
在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于
静
电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，
无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。
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其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。
ma
kq2
er（其中a是B相对A的相对加速度）
r2
B在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，
上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。
初始时，相对于A的运动为右图，守恒方程——联系初态和相距最近状态，rm,vm
联系消去vm，解得rm
解之前利用u0
kq2
2
kq
离导线距离γ处电场强度设为E，求α=？
20r
解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向冲量就比
较小（时间短），这样产生的α角度就会如题中告知是一个小量，
利用微元法处理，当带电粒子到达位置ψ时相距位矢量为r，此刻带电粒子受力大小
F eE
e
Fcos
e
，Fy
cos
2
0r
20r
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电磁学
静电学
1、 静电场的性质
静电场是一个保守场，也是一个有源场。
F dlo高斯定理
静电力环路积分等于零E dsqi
sEo
电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系
E drUaUb①
过程E drdU
dU
一维情况下Exdx
dx
ExdU②
dx
2、 几个对称性的电场
（1） 球对称的电场
场源EU
侧空间形成电流I,随离开右极板距离x的变化曲线，并在图上标出图线特征点的横、 纵坐标。取X正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B的小孔位置，横坐标单 位S Tev0
解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为
m
V的均匀电子束（孔的左侧）。
通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。
0——时间内，所加电压为
解法一：上一例的解法解法二：。。。。
解法三：
设移动Q过程中离板距离达到X，且移动缓慢，移动过程中外力始终等于作用在Q上的静电力，即所以外力做功为
电场线
例1：计算在通过导体面上以0为圆心，R为半径的圆上的电量等于由Q发出的全部电量一半的条件下，求R=?
解：一个方法是先求出导体面上相对于0的表明感应电荷面密度的分布， 求出半径为R的园面上电
解：（1）利用W
udq计算
1
udq计算
（2）利用W
2
U dqiU(Q) ,
U dqiU(Q)
导体旁移动电荷，求外力做功
例1：如图一个原来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a，b，球心处放一个点电荷，电量为
Q
现在用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？
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解：由于在Q移动过程中， 导体球壳表面感应电荷变化， 所产生的电场不是静电场，因此需要另外想办法。
此刻y方向动力方程为
其中dt可以利用x方向动力学方程表达
其中dx与dΨ满足关系（如图所示几何关系）
2
ey
vy
化简整理
dvy
d
2
0mvx
0
2
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利用Ex
1mvx2
e vx
vy
2
4
0
例2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量-e（e>0）,质量
布,所以这样计较有困难.
例:求半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.
解:静电场(真空)能量密度
1
EoE
2
2
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1Q
本题球面外侧:E4 EoR2
推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为Er的多向同性均匀
电合质,
下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和
量为
1时，R=?
2
这里采用初等方法，由于导体板右侧电场强度分布是由点电荷
Q和导体板上感应电荷共同激发
产生，或者等价的认为：导体板右侧电场分布是由点电荷
Q及其相应的电荷-Q共同激发产生。
由于右侧空间电场强度分布的非球形对称性，所以计算通过导体板上半径为
R的园面上电通量
较困难，这是因为右侧的电场，已经由
V0，通过小孔后速度由V减小，设为V1，满足关系
——T时间内，所加电压为V0，通过小孔后速度由V增大，设为V2，满足关系式，
再由题中告知： 的值正好在VAB的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在tb时刻形成均匀分布的一段电子束V
此话要求①在t=tb时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重
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,试确定某个e的电势能W和-e的电势能W
（1）
设N
（2）
N足够大时，W W近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W
（3）
N足够大时，将非边缘的一对离子
e、-e一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原
位，试求外力做的功A.
提示ln(
1x)
x
x2
x3
...
2
3
解：（1）U
2
e
e
e
...
0a
4
）
无限长均匀带电圈柱面
（
, , R）(2
R)
无限长均匀带电圈柱体
（
, , R）（
R2
）
3、带电荷粒子在电场中的运动
例1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度α，
如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为Ek，电量为e，导线单位长度带电量为λ，
0a
40
3a
4
（2）足够大的N,
（4） 将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能
W
W
此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为
W'W
e2
40a
再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能
1
W
W
W
'
W
无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能
W2
e2
4
0a
利用动能关系，求出外力做功
m，电荷量均
为q的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度
kq2
相互垂直，方向如图，大小均为u0
md
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求质点运动中，它们之间的最小距离
解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。
设运动过程中，A,B两质点的位置矢量为rA,rB,则相对位矢为r rBrA分别写出A、B两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：
初始时刻，Q未移动之前，在Q处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值：
（
另Q=nq，然后逐个移动q计算外力做功
.
.
外力做功之和
其中初始吧Q=nq（分散），移到无限远，又把nq=Q（集中）,合起来做功为零。
解法二：
如图
外力做功
A'
W
W
Q2
,其中
C
4
ab
f
0
2C
0
b - a
例2：一块接地无限大导体平板，离板距离为a处有一个带电量为Q的点电荷，现在吧Q沿垂直于板的方向移到无限远处，求外力做多少功？
)是周期中电压处于最小的时间间隔， 已知 的值正好使在VAB变
化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，
能够在某一个时刻tb形成均匀分布的一段
电子束。设两级间距很小， ，电子穿越时间，且mV2
6eV0,不计电子间相互作用
（1）
满足题给条件的
，t0的值分别为？
（2）
试在下图中画出
t=2T那一刻，在0——2T时间内通过电容器的电子在电容器的右
Q,-Q两点电荷产生的场叠加后形成的分布。
这里采用方法是：在计算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场计算，而用叠加前的由Q发出，由-Q吸收的两个球对称的电场来处理，其结果显然是相同的。
以Q为球心，r为半径做一个球面