4.2动能定理
一、单个质点的动能定理
例1、设物体的质量为m ，在与运动方向相同的恒定外力F （F 未知）的作用下，在光滑水平面上发生一段位移l ，速度由v 1增加到v 2，如图所示。

试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力F 对物体做功的表达式（与速度的关系）。

22211122W mv mv =- 功是能量转化的量度，上式右边可以看成是能量的变化（末状态的能量减初状态的能量）。

由于和速度有关，将其定义为动能。

1、动能
212
K E mv = 2、动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化量。

22211122
k W E mv mv =∆=-合 3、动能定理的优越性：
(1)适用于恒力做功，也适用于变力做功。

(2)适用于直线运动，也适用于曲线运动。

(3)适用于单一过程，也适用于全过程（复杂运动）。

*(4)机械能守恒定律是有适用条件的，而动能定理是普遍适用的。

例2、两个质量均为m 的小球．用长为2L 的轻绳连接起来，置于光滑水平面上，
绳恰好处于伸直状态．如图所示．今用一个恒力F 作用在绳的中点，F 的方向水平且垂直
于绳的初始长度方向．原为静止的两个小球因此运动．求：（1）在两个小球第一次相碰前
的瞬间,小球在垂直于F 作用线方向上的分速度为多大?（2）若干次碰撞后，两球处于接触
状态一起运
动，求因碰撞损失的总能量。

二、质点系统的动能定理
质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功的代数和。

k E W W ∆=+∑∑外内
注意：
系统牛顿第二定律：F =ma ，不需要考虑内力。

但是，系统动能定理，不仅需要考虑外力做功，还要考虑内力做功
例3、速度为v 1的子弹射入静止在光滑桌面上的木块，子弹受到的阻力为f ，子弹未从木块中射出，子弹和木块以共同的速度v 2在桌面上运动。

子弹射入木块的深度为d ，求木块和子弹构成的系统动能的减少量。

三、非惯性系中的系统动能定理
质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功以及惯性力做功的代数和。

k E W W W ∆=++∑∑∑外内惯
例4：水平地面上的小车以加速度a 行驶，车厢中有一物体，相对于车厢以匀速v 向前运动，验证非惯性参考系中的动能定理
例5、一质量为m 的小物体，放在半径为R 的光滑半球面顶端。

求下列情况下物体离开球面时，离半球面底面的距离h 。

（1）半球以10m/s 的速度匀速上升
（2）半球面以加速度a=g/2匀加速上升
（3）半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动
四、质心参考系中的动能（柯尼希定理）：
质点系相对某一参考系的动能，等于质心相对该参考系的动能，加上质点系的内动能
内动能：在质心参考系中各质点相对于质心的动能之和
例6：如图，C 为质心，v C 为质心速度，v ‘为两物体相对于质心的速度，验证柯尼希定理。

2、柯尼希定理的严格证明：
设n 个质点m 1， m 2， ……， m n ，构成的质点系 ，质心C 的速度为v C ，各质点相对于质心的速度为v 1‘， v 2‘， ……， v n ‘
3、柯尼希定理常用于两质点构成的系统：
设两质点m 1， m 2，原参考系中速度为v 1， v 2，质心参考系中速度为v 1‘， v 2‘
因此两质点间的相对速度为：1212''u v v v v =-=-
即：2112'm v u m m =
+，1212
'm v u m m =-+ 因此，2222112211112222C m v m v m v u μ+=+总，其中，1212m m m m μ=+称为约化质量。

例7：长为l 的轻质悬线，下端有一质量为M 的砂袋，初始静止。

质量为m 的子弹以v 0的初速度水平射入砂袋，并留在砂袋内，一起绕绳摆动，求最大摆动角
例8：光滑水平面上有一质量为M 的小车，车里有一平台，平台上有一质量为m 的光滑小球，一根轻质弹簧一端固定在车台壁板上， 弹簧被压缩并用线拖住，小球与弹簧自由端接触。

将小车固定，烧断线后，小球被弹出，飞出的水平距离S 1 ，若小车不固定，同样条件下烧断线后，小球弹出后在车内飞出的水平距离S 2为多大？
五、微元法在动能定理中的应用：
例9、如图所示，在容器中距水面深度为h 处开一个小孔，在不计水的粘滞阻力的条件下，求水从小孔流出的初速度。

例10、从一个容器里向外抽空气，直到压强为p 。

从一个容器里向外抽空气，直到压强为p 。

容器上有一小孔，用塞子塞着。

现把塞子拔掉， 有一小孔，用塞子塞着。

现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为p 0，大气密度为ρ。