．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：考点4：三角形的外接圆：例 2 ．已知，如图，CD是直径， EOD 84 ，AE 交⊙ O 于 B ，且 AB=OC ，求∠ A 的度数。

例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为________ cm 。

例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ， CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多 少？例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知AE=6cm ， EB=2cm, CEA 30 ， 求 CD 的长．例 6. 已知：⊙ O 的半径 0A=1，弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ，求 BAC 的度数．锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为 d ， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外d > r ；②点在圆上d=r ；③点在圆内 d <r ；典型例题】∠ ACB =90°, AC =2, BC =4，CM 是AB 边上的中线， 以点C 为圆心，以 5 A,B,M 三点分别与⊙ C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例 1 在⊿ ABC中， 为半径作圆，AB D例 7. 如图，已知在 ABC 中， A 90 ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点 A 为圆心， AC 长为半 径画弧交 CB 的延长线于点 D ，求 CD 的长．例 8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB ＝ 16cm ，拱高 CD ＝ 4cm ，那么拱形的半径是 ＿m 。

CA. 思考题D如图所示,已知⊙ O 的半径为 10cm ，P 是直径 AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点 A 和B 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求 AE-BF 的值 .考点速览】考点 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．推论 1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．．垂径定理及其推论B③ 平分弦所对的一条孤的直径 ,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论 2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论 1 中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦 （ 不是直径 ） ；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点F 。

求证： CE=DF ．例 3 如图所示，⊙ O 的直径 AB ＝15cm ，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑 动（点 C 与点 A ，点 D 与 B 不重合），且 CE ⊥CD 交 AB 于 E ， DF ⊥ CD 交 AB 于 F 。

1）求证： AE ＝ BF2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证典型例题】例 1 如图 AB 、CD 是⊙ O 的弦， 求证： AB=CD ．例 2 已知， 不过圆心的直线 M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点，且l 交⊙O 于 C 、D 两点， AB 是⊙ O 的直径， AE ⊥ l 于 E ，BF ⊥ l 于明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例 4 如图，在⊙ O 内，弦 CD 与直径 AB 交成 450角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P ，且⊙O例 5. 如图所示， 在⊙ O 中，弦 AB ⊥ AC ，弦 BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径 MN 于 E 、F. 求证： ME=NF.例 6. （思考题）如图， o 1与 o 2交于点 A ，B ，过 A 的直线分别交 o 1， o 2于 M,N ，半径为 1，试问：22 PC2PD2是否为定值？BC 为 MN 的中点， P 为 O 1O 2的中点，求证： PA=PC.三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点 1圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

圆周角 ：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。

两个条件缺一不可．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点 2定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证明。

13. 如图，已知 A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点， AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接 CD 、 AD ．（1）求证： DB 平分∠ ADC ；（2）若 BE ＝ 3，ED ＝6，求 AB 的长 ．14. 如图所示，已知 AB 为⊙ O 的直径， CD 是弦，且 AB CD 于点 E ．连接 AC 、OC 、 BC ．（1）求证： ACO= BCD ．（2）若 EB= 8cm ，CD= 24cm ，求⊙ O 的直径．D15. 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ ABC的角平分线，过A、C、D 三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

1）求证：AC＝AE；2）求△ ACD外接圆的半径。

16. 已知：如图等边△ ABC内接于⊙ O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP ，连结CD ．（1）若AP过圆心O ，如图①，请你判断△PDC 是什么三角形？并说明理由．（2）若AP不过圆心O ，如图②，△PDC 又是什么三角形？为什么？D四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1 ．如图所示，点O 是∠ EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD ．F 例2、已知：如图，EF为⊙ O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠ APF=∠CPF。

求证：PA=PC。

例 3．如图所示，在 ABC 中，∠ A=72 ，⊙O 截 ABC 的三条边长所得的三条弦等长， 求∠ BOC.例 4．如图，⊙ O 的弦 CB 、 ED 的延长线交于点 A ，且 BC=DE ．求证： AC=AE ．如图所示，已知在⊙ O 中，弦 AB=CB ，∠ ABC=120 ， OD ⊥ AB 于 D ， OE ⊥BC 于 E ．例 6. 如图所示，已知△ ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的⊙ O 分别交 AB 、AC 于点 D 、E 。

1）试说明△ ODE的形状；求证： ODE 是等边三角形．C2）如图2，若∠ A=60o，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。

例7 弦DF∥ AC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：△ BEF是等边三角形；2）BA=4，CG=2，求BF的长.例8已知：如图，∠ AOB=90 °，C、D是弧AB的三等分点，求证：AE=BF=CD 。

AB分别交OC、OD于点E、F。

六．会用切线，能证切线考点速览：考点 1 直线与圆的位置关系C CEO FB C G图形公共点个数直线与圆的位置关系d与r 的关系0d>r相离1d=r相切2d<r相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言∵ OA ⊥ l 于A，OA 为半径∴ l 为⊙ O 的切线考点3 判断直线是圆的切线的方法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径) 考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直)1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ ACB=∠DCE．(1) 判断直线CE与⊙ O的位置关系，并证明你的结论；(2) 若AB=3,BC=4,DE=D，C求⊙ O的半径．2.如图， AB 是半圆 O 的直径，过点O 作弦 AD 的垂线交半 圆 O 于点 E ，交 AC 于点 C ，使 BED C ．（1）判断直线 AC 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论；3.如图，已知 R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边 AB 为直径作 O ，交斜边 AC 于点 D ，连结 BD ．（1）取 BC 的中点 E ，连结 ED ，试证明 ED 与⊙ O 相切． （2）在（ 1）的条件下，若 AB ＝3，AC ＝5，求 DE 的长；4.如图，已知 AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线 交于点 P ，AC=PC ，∠ COB=∠2 PCB.1）求证： PC 是⊙ O 的切线；DEFO16. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的⊙ O 经过点 D ，E 是⊙O 上一点，（1）若∠ AED ＝45o ．试判断 CD 与⊙O 的关系，并说明理由． （2）若∠ AED=60o,AD=4，求⊙ O 半径。

7. 在 Rt △ACB 中，∠ C=90°， AC=3cm ，BC=4cm ，以 BC 为直径作⊙ O 交 AB 于点 D.（1）求线段 AD 的长度；2）求证： BC=2 AB ；5. 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 中点， AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E ，点 O是 AB 上一点，⊙ O 过 A 、E 两点 , 交 AD 于点 G ，交 AB 于点 F ．1）求证： BC 与⊙ O 相切；2）当∠ BAC=120°时，求∠ EFG 的度数DEAFOD（2）点 E 是线段AC上的一点，试问当点 E 在什么位置时，直线ED与⊙O 相切？请说明理由.B8. 如图，已知△ ABC内接于⊙ O，AC是⊙O的直径，D是A⌒B 的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F1）求证：EF⊙是O的切线；2）若AB＝8，EB＝2，求⊙ O的半径．如图，已知⊙ O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA⊥AB ，PO 过AC 的中点M，求证：PC 是⊙O 的切线。