2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式:锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是高。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答题卡相应的......位置上.... 1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a 2+4},A ∩B={3},则实数a =______▲_____.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i (其中i 为虚数单位),则z 的模为______▲_____.3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ ▲__.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。
5、设函数f(x)=x(e x +ae -x)(x ∈R)是偶函数,则实数a =_______▲_________6、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线112422=-y x 上一点M ,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______7、右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是______▲_______8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=____▲_____9、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是______▲_____10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ,过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。
11、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__▲___。
12、设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是 ▲ 。
13、在锐角三角形ABC ,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,6cos b aC a b+=,则tan tan tan tan C CA B+=____▲_____。
14、将边长为1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记2(S =梯形的周长)梯形的面积,则S 的最小值是____▲____。
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t 满足(t -)·=0,求t 的值。
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ,∠BCD=900。
(1)求证:PC ⊥BC ;(2)求点A 到平面PBC 的距离。
17、(本小题满分14分)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位:m ),如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ,仰角∠ABE=α,∠ADE=β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m ),使α与β之差较大,可以提高测量精确度。
若电视塔的实际高度为125m ,试问d 为多少时,α-β最大?18、(本小题满分16分)在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F 。
设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。
(1)设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹;(2)设31,221==x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。
19、(本小题满分16分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3122a a a +=,数列{}nS 是公差为d 的等差数列。
(1)求数列{}n a 的通项公式(用d n ,表示);(2)设c 为实数,对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,,不等式k n m cS S S >+都成立。
求证:c 的最大值为29。
20、(本小题满分16分)设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f 。
如果存在实数a 和函数)(x h ,其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称函数)(x f 具有性质)(a P 。
(1)设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+,其中b 为实数。
(i)求证:函数)(x f 具有性质)(b P ; (ii)求函数)(x f 的单调区间。
(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。
给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数,21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,且1,1>>βα,若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围。
数学Ⅱ(附加题)21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题.......,并在相应的答题区域内作...........答.。
若多做,则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A . 选修4-1:几何证明选讲 (本小题满分10分)AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ,若DA=DC ,求证:AB=2BC 。
B . 选修4-2:矩阵与变换 (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。
设k 为非零实数,矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍,求k 的值。
C . 选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分)在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值。
D . 选修4-5:不等式选讲 (本小题满分10分)设a 、b是非负实数,求证:3322)a b a b +≥+。
[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。
请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、(本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。
生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
(1)记X (单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X 的分布列;(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
23、(本小题满分10分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。
(1)求证cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数n ,cosnA 是有理数。
2010年答案填空题1、[解析] 考查集合的运算推理。
3∈B, a+2=3, a=12、[解析] 考查复数运算、模的性质。
z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等,z 的模为2。
3、[解析]考查古典概型知识。
3162p==4、[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×(0.001+0.001+0.004)×5=305、[解析]考查函数的奇偶性的知识。
g(x)=e x+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。
6、[解析]考查双曲线的定义。
422MFed===,d为点M到右准线1x=的距离,d=2,MF=4。
7、[解析]考查流程图理解。
2412223133,++++=<输出25122263S =++++=。
8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a k ,a k 2)处的切线方程为:22(),k k k y a a x a -=-当0y =时,解得2ka x =, 所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=。
9、[解析]考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2, 圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,||113c <,c 的取值范围是(-13,13)。
10、[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。
线段P 1P 2的长即为sinx 的值, 且其中的x 满足6cosx=5tanx ,解得sinx=23。
线段P 1P 2的长为2311、[解析]考查分段函数的单调性。
2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩ 12、[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。
22()[16,81]x y ∈,2111[,]83xy ∈,322421()[2,27]x x y y xy=⋅∈,43y x 的最大值是27。
13、[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。
一题多解。
(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。
当A=B 或a=b 时满足题意,此时有:1cos 3C =,21cos 1tan21cos 2C C C -==+,tan22C =,1tan tan tan 2A B C===,tan tan tan tan C CA B+= 4。
(方法二)226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+,2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理,得:上式=22222214113cos()662c c ccC ab a b=⋅===+⋅14、[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。