第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点)
2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点)
一、情境导入
某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？
二、合作探究
探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度
如图，已知点P 是等边△ABC 内
一点，P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．
解析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ，判断△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数．
解：∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC .可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连EP ，∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°.在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，∴AE 2＝PE 2＋P A 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°.
方法总结：本题考查了等边三角形的判
定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题
的关键是根据题意构造△APE 为直角三角形．
【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长
在△ABC 中，D 为BC 边上的点，
AB ＝13，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，求BD 的长．
解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD 为直角三角形，即∠ADC ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中利用勾股定理可得出BD 的长度．
解：∵在△ADC 中，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，∴AC 2＝AD 2＋CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt △ADB 中，∵AD ＝12，AB ＝13，∴BD ＝AB 2－AD 2＝5，∴BD 的长为5.
方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．
【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用
如图，是一农民建房时挖地基的
平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是
否为直角三角形．
解：∵AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，∴AB 2＋BC 2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC 2＝92＝81，∴AB 2＋BC 2≠AC 2，∴∠ABC ≠90°，∴该农民挖的不合格．
方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．
【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决方位角问题
如图，南北向MN 为我国领海线，
即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A 艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意．反走私艇A 和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C 艇12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE 即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE 和△ABC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC
＝90°.∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE .由S △ABC ＝12AB ·BC ＝
12AC ·BE ，得BE ＝60
13海里．由CE 2＋BE 2＝122，
得CE ＝14413海里，∴14413÷13＝144
169≈0.85(小
时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41
分．
答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．
三、板书设计
1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想．
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1．经历探索及验证勾股定理的过程，
体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理
【类型一】直接运用勾股定理
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝
90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理
即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面
积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得
到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝
12cm；
(2)S△ABC＝
1
2CB·AC＝
1
2×5×12＝
30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝
1
2AC·BC＝
1
2CD·AB，∴CD
＝
AC·BC
AB＝
60
13cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利
用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法
表示出同一个直角三角形的面积，然后根据
面积相等得出一个方程，再解这个方程即
可．
【类型二】分类讨论思想在勾股定理
中的应用
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，
BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．
解析：本题应分△ABC为锐角三角形和
钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况说明：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①
所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝
152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝
AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5
＋9
＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②
所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝
152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝
AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5
＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴
当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长
为42；当△ABC为钝角三角形时，△
ABC
的周长为32.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存
在的可能情况，可作出相应的图形，判断是
否符合题意．
【类型三】勾股定理的证明
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC
绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所
以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正
方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，
而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和
Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾
股定理的过程；。