应用： 最短路问题
算法实现－标号法
V2
∞ 1
02 6 5
V1
8 V3∞ 17
1 2
V4
9 ∞
V5 ∞ 2
39
V6 ∞
6
43
V7 1 ∞
V8 ∞
79
V9 2 1∞ 4
V1∞1
V10
∞
课后习题 （a）G 是单图且
v
2
1
证明G 连通.
（b） v>1时，找一个不连通的单图G使得
v
2
1
证：（a）若 G 不连通，可分为两个顶点数分别为
△≥v-1。若△=v-1，必有δ≥1，从而△-δ +1<v,这与各点 度均不等矛盾!若△>v-1, 又与G是单图矛盾。
第二章 树及其基本性质；最小生成树。
定理 下列命题等价： （1） G 是树； （2） G 中无环边且任二顶点之间有且仅有一条路； （3） G 中无圈且ε =ν −1； （4） G 连通且ε =ν − 1; （5） G 连通且对任何e ∈ E(G) ，G − e 不连通； （6） G 无圈且对任何e ∈ E(G) ，G + e 恰有一个圈。
证：令上述组内人的集合为图G的顶点集合，若两人互 相是朋友，则其间连以一边，所得之图G是组内人员的 朋友关系图。显然G是单图，图中顶点的度恰表示该人 在组内朋友的个数，利用图G，上述问题就抽象成如下 的图论问题：在一个单图G中，若v（G）≥2，则在G中存 在度相等的两个顶点。
用反证法，设G中各点的度均不相等。必有最大度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G1
G2
G1 G2
G1
G1 G2 G1 G2
G2
G1 G2 G1 G2
定理 一个图是二部图当且仅当它不含奇圈。
由定理 1.2可知图 (a) 所示的图不是二分图，因为它 包含一个长为3的圈 c v4v5v5v4 ,图 (b) 所示的图是 一个二分图，它不含长为奇数的圈.
例 设G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则G 必有偶圈。 证明：设 P =v0v1 …v k是G 的最长路。
例 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直 通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G 如下：以交换台作为顶点，两顶点间 连边当且仅当对应的两台间有直通线路。 问题化为：已知图G 有2n 个顶点，且δ (G) ≥ n ，求证 G 连通。 事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的顶 点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n − 1。 这与δ (G) ≥ n 矛盾。证毕。
支（w ≥ 2 ），则 i i 1 （因G i是连通无圈图， 由
已证明的(1)
w
和(2)
w
知，
对每个G
i
，(3)
成立）。这
样， i i w w ，这与 1 矛盾。
i1 i1
（4） ⇒ （5） ε (G − e) = ε (G) −1 =ν − 2 ，但每个连通图必满 足ε
连通且只有两个连通分支，设为 G 1,G 2 。注意到 G 1,G 2 分别都连通且任二顶点间只有一条路，由归纳法假设
G1 G1 1, G2 G2 1 ，
因此
G G1 G2 1 G1 1 G2 1 1 G 1
归纳法完成。
（3） ⇒ （4）
用反证法。若G 不连通，设 G 1,G 2, …,G w是其连通分
若i, j 都是偶数，则路P 上v i到 v j的一段与边 v 0 v i 及v 0 v j构成一个偶圈。证毕。
图中两点的连通：如果在图G 中u，v 两点有路相通，则 称顶点u，v 在图G 中连通。 连通图：图G 中任二顶点都连通。
图的连通分支：若图G 的顶点集V(G)可划分为若干非空 子集V 1,V 2, …,V ω ，使得两顶点属于同一子集当且仅当 它们在G 中连通，则称每个子图G[V i] 为图G 的一个连 通分支（ i = 1,2,…,ω ）。
v1
e5 v2
v1
e6
e5
v2 e6
e2 e3 e4
v3 e2 e3
v3
e7
e7
v4
e1 G
v5 v4
v5
G的生成图
e1
v1
e5
v2
e2
e6 v3
v4
G v5
v1
e5
v2
v1
e2
e2 e3 e4 v3
e7
v4
v4
v5
G[v1 , v2 , v4 ]
G[e2,e3,e4,e7 ]
G1
G2
G1 G2
v1，v2的互不连通子图 G1，G2。
易v知i 1,(i 1,2),v1 v2 v 于是
(G)
v1 2
v2 2
v1(v1 1) 2
v2 (v2 1) 2
(v
1)(v1 2
v2
2)
(v
1)(v 2
2)
v
2
1
这与
v
2
1
矛盾！
（b） G = Kv-1+K1即为所求的单图。
课后习题：证明在任何两个或两个以上人的组内,存在 两个人在组内有相同个数的朋友。
第一章 图和子图
图的基本概念；常见的特殊图类；二部图及其性质； 图的同构；关联矩阵与邻接矩阵；路、圈与连通图； 最短路问题。
K-方体图是其顶点为0与1的有序k元组,当且仅当它 们的一个坐标不相同时, 此两个顶点相连以边。证 明k-方体图是有2k个顶点k2k-1条边的2-部图。
导出子图和图的运算
e1
证明：（1） ⇒ （2） G 是树⇒G 连通⇒ ∀u, v ∈V (G) ，存在路P(u, v) 。
若还存在一条路P′(u, v) ≠ P(u, v) ，则必存在w，w 是路 P 与P′ 除了v 之外最后一个公共顶点。
P 的(w, v) 段与P′ 的(w, v) 段构成圈，这与G 是树矛 盾。故只存在唯一的(u, v)路。
因为d (v 0) ≥ 3 ， 所以存在两个与 v 1相异的顶点v′, v" 与 v 0相邻。v′, v"必都在路P 上，否则会得到比P 更 长的路。无妨设v ′ = v i , v" = v j , (i < j ) 。
若i, j 中有奇数，比如i 是奇数，则路P 上 v 0到v i的 一段与边 v 0 v i 构成一个偶圈；
逆定理的成立见习题2.1.1
（2） ⇒ （3） 若G 有圈，则此圈上任二顶点间有两条不同的路，
与前提条件矛盾。 下面用归纳法证明ε =ν −1。
ν = 1时，ε = 0，结论真。 假设ν ≤ k 时结论真，我们来证明当ν = k + 1时，也 有ε =ν −1成立。 当ν = k + 1时，任取u, v ∈V (G) 。考虑图G′ = G − uv ，因G 中u、v 间只有一条路，即边uv，故G′不