13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题2. 求隐函数(组)的一阶偏导数3. 求抽象函数的二阶偏导数4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5. 求函数的极值6. 计算第一型曲面积分7. 计算第二型曲面积分8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1. 用定义证明多元函数的极限2. 证明多元函数的连续性3. 研究含参量积分的一致收敛性4. 证明含参量非正常积分的连续性5. 三重积分的证明题6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题7. 证明二重极限不存在8. 多元函数的可微性证明例题一、计算题1. 全微分计算题公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+uz∂∂dz 。

例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。

2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e zx +=，求y x z ∂∂∂2。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dxdy ，dx dz。

3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ∂∂∂2，22uy∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xye)，求yx u∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。

4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

例8：求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。

例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。

5. 求函数的极值或条件极值例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。

例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。

6. 计算第一型曲面积分例12：计算⎰⎰++SdS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。

例13：计算：xyzdS ∑⎰⎰，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

7. 计算第二型曲面积分例14：求I=⎰⎰-++Sdxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。

例15：计算⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表面的外侧。

8. 计算第二型曲线积分(格林公式)例16：计算曲线积分[][]⎰-'+-AmBx xdy m e y dx my ey )()(ϕϕ，其中ϕ(y)和ϕ/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。

例17：求曲线积分⎰---Cx x dy y y e dx y e )sin ()cos 1(，其中C 为0<x<π，0<y<sinx 的正方向的围线。

9. 二重积分的计算例18：计算：⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由x 2+y 2≥1，x-y+1≥0，0≤x ≤1围成。

例19：计算I=⎰⎰Ddxdy y x 22，其中D 由x=2，y=x ，xy=1所围成。

10. 高斯公式与斯托克斯公式例20：计算I=⎰-+-+-Ldz y x dy x z dx z y )3()2()(222222，其中L 是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L 为逆时针方向。

例21：计算⎰⎰∑+-++-+++dxdy y x dzdx x z dydz z y x )1()1()(2222222，其中∑是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组成的按片光滑曲面，取外侧。

11. 求多元函数的方向导数例22：求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y 2=4x 上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。

例23：在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。

12. 曲线积分与路径无关问题例24：确定λ的值，使曲线积分I=⎰-++-ldy y y x dx xy x )56()4(4214λλ与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0)的I 值。

例25：定常数a ，使得任何不经过y=0的区域上曲线积分⎰+-+Ca ady y x yx dx y x y x )()(222222与路径无关，并求 ⎰+-+=),()1,1(222222)()(),(y x a ady y x yx dx y x y x y x u 。

13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 例26：将三次积分I=⎰⎰⎰+---++)(3022212222)(y x y y yy dz z y x f dx dy 分别表示为柱坐标及球坐标的形式。

例27：设Ω是由x 2+y 2=2z ，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f 是Ω上连续。

利用柱面坐标将三重积分I=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(化为三次积分。

14. 应用：求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)例28：有一铁丝成半圆形x=acost ，y=asint ，0≤t ≤π，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。

例29：⎰Lzds ，其中L 为圆锥螺线x=tcost ，y=tsint ，z=t ，t ∈[0,t 0]；例30：求球面x 2+y 2+z 2=a 2为平面z=4a ，z=2a所夹部分的曲面面积S 。

15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01nx dx类积分值 例31：利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin 计算积分⎰+∞+041x dx。

例32：利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin 计算积分⎰+∞+061x dx。

(注意B 函数的另一形式：B(p,q)=⎰+∞+-+01)1(dx x x qp p )二、解答与证明题：1. 用定义证明多元函数的极限例33：用极限定义证明211lim(23)5x y x y →→--=。

例34：用极限定义证明2202lim(3)4x y x xy y →→++=。

2. 证明多元函数的连续性例35：若函数f(x,y)在区域D 内关于每一个变量都有有界偏导数，则f 在D 内连续。

例36：设f(x,y)在{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(上连续，函数列{})(x n φ在[a,b]上一致收敛，且c ≤φn (x)≤d ，证明：))(,()(x x f x g n n φ=在[a,b]上一致收敛。

3. 研究含参量积分的一致收敛性例37：研究：220sin ()xydx xy x y +∞+⎰在[a,+∞]，a>0的一致收敛性。

例38：研究：1cos xdx xα+∞⎰在α∈[21,1]内一致收敛性。

4. 证明含参量非正常积分的连续性 例39：证明：F(α)=2arctan 1()xdxx α+∞++⎰在(-∞,+∞)内连续。

例40：证明：F(x)=02xydyy +∞+⎰在(2,+∞)内连续。

5. 三重积分的证明题例41：设一元函数f(t)在(0,+∞)内具有一阶连续导数，令{}2222(,,)t x y z x y z t Ω=++≤，F(t)=()222tf x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰。

(1)证明F(t)在(0,+∞)内具有二阶连续导数； (2)求出F /(t)的表达式。

例42：设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)=0，试求⎰⎰⎰Ω→++dv z y x f tt )(1lim2224π，其中Ω：x 2+y 2+z 2≤t 2。

6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题例43：设f(x,y)是定义在R 2上的连续函数，求证：对任意实数c ，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)≥c}是闭集。

例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{P n }⊂E ，P n ≠P 0，+∞→n lim P n =P 0时，P 0是E 的聚点。

7. 证明二重极限不存在 例45：证明：200)(limy x xy xyy x -+→→不存在。

例46：讨论极限24200lim y x yx y x +→→的存在性。

8. 多元函数的可微性证明例47：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0,00 ,2222222y x y x y x yx ，证明f(x,y)在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。

例48：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0(),( 0)0,0(),( 223y x y x y x x 。

证明f(x,y)在(0,0)不可微。

9. 曲线积分的证明题例49：证明：若C 为平面上的封闭曲线，则cos(,)CCn y ds dx =-⎰⎰，n为C 的外法线向量。

例50：求积分值I=⎰+Lds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n为L 的外法线方向。

例题选讲一、计算题1. 全微分计算题例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；解：du=()()222222x z y xy+-+dx ()()222222y z x xy--+dy+222zx y +dz 。

例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。

解：dz=zx ∂∂dx+z y ∂∂dy=322x z -dx-z y dy 。

2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e zx +=，求y x z ∂∂∂2。

解：令F=z zy e+-x=0，则)1(+=∂∂z x z x z ，y x z ∂∂∂2=3)1(+-z x z。