考研高数笔记SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第一章 函数、极限、连续第1节函数a) 反函数和原函数关于y=x 对称。
b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。
c) 多个奇函数之和为奇函数;多个偶函数之和为偶函数。
d)2k 个奇函数的乘积是偶函数;2k+1个奇函数的乘积是偶函数;任意个偶函数的乘积还是偶函数。
(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函数,周期为T ,则f(ax+b)也是周期函数,周期为|T/a|。
f) 基本初等函数包括:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
初等函数即上述五大类函数,以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。
g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限a) 左右极限存在且相等⇔极限存在。
b) 如果函数在X 0极限为A ,则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x),其中0=(x)ɑlim 0x x →。
(等价无穷小)c) 极限存在⇔极限唯一。
(极限唯一性)d) A x =→)(f lim 0x x ,且A>0,则在x 的邻域内,f(x)>0。
(保号性)e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限,则存在该点的一个去心邻域U ,在U 内f(x)有界。
(有界性)f) 当limf(x)=A ,limg(x)=B ,那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b (极限的四则运算)g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。
有限个无穷小之积仍然是无穷小。
无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。
h) )()(lim x g x f =li. l=0,f(x)=o(g(x)).ii. l=∞,f(x)是g(x)低阶.iii. 0<l<∞或-∞<l<0,l ≠1,同阶. iv. l=1,等价无穷小,记作f(x)~g(x). 特别的,如果kx g x f )]([)(lim=l(l ≠0),则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。
i) 等价无穷小代换:x →0时,x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x)1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2αx 2x1+-1~21x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~313xx-sinx ~613x特殊的,x →0时a x -1~xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。
k) 要注重推广形式。
例如【x →0时,x ~sinx 】,如果当x →x 0时,f(x)→0,那么将原式中x 换成f(x)也成立。
l) 求极限的方法:i. 利用函数的连续性(极限值等于函数值)。
利用极限的四则运算性质。
ii. 抓头公式(处理多项式比值的极限)。
1. 抓小头公式。
(x →0)2. 抓大头公式。
(x →∞)(分子分母同除最高次项)(极限为【最高次项的系数比】) iii. 两个准则:1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限iv. 两个重要极限:1.xsinx limx →=1 (利用单位圆和夹逼准则进行证明)2.e xx=+∞→)11(lim xe =+→x10x )x 1(lim (利用单调有界准则进行证明) 口诀:倒倒抄。
(结合抓头公式)v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。
有限个无穷小之积为无穷小。
无穷小与有界量乘积为无穷小。
2. 12种等价无穷小的代换。
vi. 左右极限:求分段函数分段点的极限值。
vii. 利用导数的定义求极限。
导数定义:增量比,取极限。
构造出“增量比”的形式,则极限就是导数。
viii. 定积分的定义求极限。
(处理多项求和的形式) ix. 泰勒公式1.泰勒公式中系数表达式:f (f )(f 0)f !(f −f 0)f2. 当f 0=0的时候,泰勒公式则称为麦克劳林公式。
常用的麦克劳林公式:e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x. 洛必达法则使用前提:(1)分子分母都趋向于0。
(2)分子分母的极限都存在。
(3)分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。
第一层次00∞∞第二层次0*∞:转换成00或∞∞∞-∞:通分化为00(常用换元的方法求解) 第三层次 1∞∞000使用f ff 进行转化。
第3节连续与间断a)连续某点:极限值=函数值⇔函数在该点连续开区间:在该区间中每个点都是连续的,则在开区间连续。
闭区间:开区间连续切在端点连续b)间断第一类间断点(左右极限都存在)可去间断点:左右极限相等跳跃间断点:左右极限不相等第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)无穷间断点:因趋于无穷而造成的不存在。
振荡间断点:因振荡而不存在。
c)初等函数的连续性i.基本初等函数在相应的定义域内连续。
ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。
iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。
iv.原函数连续且单调,反函数必为连续且单调。
v.一切初等函数在相应定义区间内连续。
d)闭区间连续函数的性质如果f(x)在[a,b]连续,则:1.f(x)在[a,b]有界。
2.有最大最小值3.介值定理4.零点定理:f(a)*f(b)<0,a、b之间必有零点。
第二章一元函数微分学第1节导数与微分1导数a)导数定义:增量比,取极限。
b)左导数和右导数存在且相等⇔导数存在c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。
d)导数的物理意义:对路程函数中的t求导为瞬时速度.etce)导数的经济意义:边际成本、边际收益、边际利润。
∗f′(f)f)函数的相对变化率(弹性):ffg) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导。
h) 偶函数的导数是奇函数。
2 微分微分定义:自变量?x沿着切线方向的增量?y。
3 求导法则a) 导数微分表(4组16个)。
b) 导数的四则运算。
c) 反函数的导数:原函数导数的倒数。
d)复合函数求导法则。
e) 参数方程求导:dydx =dydt /fffff) 隐函数求导:左右两侧同时求导,y 当作x 的函数处理。
g) 对数求导法i. 幂指函数:先将等式两边同时化为ln 的真数,再运用隐函数求导法则。
ii. 连乘函数:先将等式两边同事化为ln 的真数,变成连加,再运用隐函数求导法则。
4 高阶导数a) 莱布尼茨公式:[u (x )v (x )](f )=∑f f f f f =0f (f )(f )f (f −f )(f ) b) 反函数的二阶导数:−f ′′(f )[f (f )]c) 参数方程的二阶导数:f ′′f ′−f ′f ′′(f ′)3第2节 微分中值定理1 罗尔中值定理条件:(1)f(x)在[a,b]连续。
(2)f(x)在(a,b)可导。
(3)f(a)=f(b)。
结论:在a 和b 之间必有一个值f 使得f ’(f )=0。
几何意义:在该条件下的函数,必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。
引申---费马引理y=f(x),若x0为y=f(x)的极值点,则f’(x)=0。
2拉格朗日中值定理条件:(1)f(x)在[a,b]连续。
(2)f(x)在(a,b)可导。
结论:在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=f(f)−f(f)f−f。
几何意义:在该条件下的函数,必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。
证明:使用曲线减去两端点连线得出一个函数,再对该函数应用罗尔中值定理。
使用该定理的信号:要求证的式子中有一个端点处函数值之差。
3柯西中值定理条件:(1)f(x)、g(x)在[a,b]连续。
(2)f(x)、g(x)在(a,b)可导。
且g’(x)≠0结论:在a和b之间必有一个值f使得f′(f)f′(f)=f(f)−f(f)f(f)−f(f)。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。
证明:使用参数方程,将f(x)和g(x)作为参数表示。
证明过程与拉格朗日中值定理相同。
使用该定理的信号:要求证的式子中有两个端点处函数值之差。
4泰勒中值定理泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。
f(f)=∑f(f)(f0)f!(f−f0)f+f(f+1)(f)(f+1)!(f−f0)f+1∞f=0拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。
使用该定理的信号:高阶导数。
使用方法:(1)确认n的取值,一般根据高阶导数的阶数选取。
(2)确认x0的取值,一般选取题中已知导数值的点。
(3)确认x的取值,一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。
第3节 微分学的应用1 单调性、极值单调性:f’(x)>0的区间,f(x)单调增的区间;f’(x)<0的区间,f(x)单调减的区间。
极值:极值点和导数为零的点没有充要条件关系。
可导函数的极值点,对应的导数值为0。
(费马引理) 驻点(导数为0的点)不一定是极值点。
第一判定法:若在f 0的邻域内,f 0左右导数异号,则f 0是一个极值点。
第二判定法:f 0为驻点,且在f 0处,f(x)的二阶导数存在。
通过二阶导数的符号进行判定。
2 最值(闭区间)最值可能出现在(1)极值点(2)区间端点。
3 凹凸、拐点凹凸:视觉定位:俯视 凹函数:f (f 1+f 22)≤f (f 1)+f (f 2)2凸函数:f (f 1+f 22)≥f (f 1)+f (f 2)2凹函数:f ’’(x)>0 凸函数:f ’’(x)<0拐点:可能出现在f ’’(x)=0或f ’’(x)不存在的点,但不一定是。
4 渐近线水平渐近线:当f(x)趋向于∞时,极限存在,则该极限为水平渐近线。
铅直渐近线:当f(x)趋向于f 0时,极限趋向于∞,则f 0为该函数的铅直渐近线。
斜渐近线:当f(x)趋向于∞时,f(x)-(kx+b)=0,则(kx+b)为该函数的斜渐近线。
其中,k=f (f )f ,b=lim f →∞[f (f )−ff ]。
5 函数图像的描绘利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。
6曲率弧微分:ds=√1+[f′(f)]2ff曲率即:角度在单位弧长的变化。
曲率:K=ffff =ff/ffff/ff=|f′′|[(1+(y′)2]32曲率半径:ρ=1f曲率圆:从弧上某点出发,向凹侧沿法线方向移动ρ的长度,即得到曲率圆的圆心。