结构优化的拓扑设计方法1.1结构优化STRUCTURAL OPTIMIZATION简称SO结构优化包括在物理体积域内确定最佳材料分布的过程，以便安全地传输或支持所施加的载荷条件。

为了实现这一目标，还必须考虑到制造和最终使用所带来的限制。

其中一些可能包括增加刚度，减少应力，减少位移，改变其固有频率，增加屈曲载荷，用传统的或先进的方法制造。

目前有四种不同类型的优化方法属于SO的范畴，它们是:尺寸、形状、拓扑和形貌优化。

在尺寸优化[size optimization]中，工程师或设计师知道结构看起来像什么，但不知道组成结构的部件的尺寸。

例如，如果要使用悬臂梁，其长度和位置可以知道，但不知道其横截面尺寸(图1.1a)。

另一个例子是桁架结构，其总体尺寸可能已知，但不知道每个桁架单元(杆)的横截面面积，图1.1b。

再一个例子是壳体结构的厚度分布。

所以基本上，一个结构的任何特征，如果它的大小是必需的，但所有其他方面的结构是已知的。

【国内外的设计软件基本都能实现】图1.1可以使用尺寸优化的结构例子:(a)未知截面尺寸的悬臂梁，(b)每根杆面积未知的桁架结构。

在形状优化[shape optimization]中，未知数是结构域[2,4]边界某一部分的形状或轮廓。

形状或边界可以用一个未知方程表示，也可以用一组位置未知的点表示(图1.2)。

【通用有限元能实现】图1.2结构设计领域的边界表示为一个方程f(x，y)或控制点，可以垂直(或以其他方式)移动到边界。

拓扑优化[topology optimization]是最常见形式的SO[5]。

在离散情况下，例如对于桁架结构，这是通过允许设计变量，如桁架成员的横截面积，有一个值为零或最小规格尺寸(图1.3)。

对于二维连续体结构，拓扑结构的改变可以通过允许薄板厚度在不同位置的值为零来实现，从而确定空穴(孔)的数量和形状。

对于三维(3D)中的连续体类型结构，同样的效果可以通过使用一个类密度变量来实现，这个变量可以将任何值降到零。

【通用有限元能实现】图1.3桁架结构的拓扑优化:(a)原始拓扑;(b)去除部分桁架的最终拓扑另外，结构的元素，例如用来表示它的有限元(FE)，可以被移除或添加到域中(图1.4)。

图1.4悬臂梁的最终拓扑图形貌优化topography optimization（主要用于钣金起肋，如压型板等）【通用有限元能实现】1.2拓扑优化在结构尺寸和形状的优化中，可以控制结构构件的尺寸和形状。

他们可以在他们的极限之间有任何价值，但他们必须始终存在。

但是，如果设计者/工程师不知道结构的形状或尺寸应该是什么，那么就需要使用拓扑优化。

拓扑优化的两个主要特征是:(1)材料的弹性特性作为其密度的函数，可以在整个设计区域内变化;(2)材料可以永久性地从设计区域去除。

拓扑优化方法可以分为两类:(1)优化准则法[6,7]和(2)启发式或直觉式方法。

最优性准则是间接的优化方法。

它们满足与结构行为相关的一组标准。

它们通常基于库恩·塔克最优性条件[3]，这意味着它们更严格。

它们适用于具有大量设计变量和少量约束的问题。

优化准则拓扑方法有:(a)均匀化[810];(b)惩罚固体各向同性材料(SIMP)[1,8,11];(c)level set方法[1214];(d)桁架结构的增长方法(第2章，桁架结构尺寸、拓扑和几何优化的增长方法)。

启发式方法来自直觉，工程过程的观察，或从生物系统的观察。

这些方法不能总是保证最优性，但可以提供可行的高效解决方案。

一些启发式拓扑优化方法有:(a)满应力设计[3](b)计算机辅助优化(CAO)[15,16];(c)soft kill option;(d)进化结构优化(ESO)[17,18];(e)双向ESO(BESO)，[19,20];(f)顺序单元拒绝和允许(SERA)(第3章，结构优化的离散方法);(g)等值线/等曲面拓扑设计(ITD)(第4章，结构优化的连续方法)。

拓扑优化的1.2.1均匀化方法拓扑优化的均匀化方法包括求解一类形状最佳化问题，其中拓扑是由无限多的微尺度空洞形成的多孔结构[810]。

然后，这个最佳化问题包括寻找微孔几何参数的最佳值，这些参数成为设计变量。

如果结构的一部分只有空隙，材料就不会放在那个区域。

或者，这可以被认为是一个空腔出现在该地区。

这就是为什么这被归类为一个topol-ogy优化方法的原因。

如果结构的一部分没有孔隙，那么这就相当于固体材料。

有两个问题需要回答: (1)这些微孔看起来像什么? (2)它们如何填充结构域？将拓扑优化方法应用于连续设计领域。

必须对这些结构进行评估，以确定其有效性，而实现这一点的有效方法是使用有限元法。

对于各向同性材料，如果采用规则的固定网格有限元方格，则每个方格都可以有一种微观结构。

这个单位用宽度(a)、高度(b)和方向(图1.5)的矩形空隙表示各向同性材料结构的单元。

优化问题是寻找整体刚度最大或最小的结构平均柔度，等价于求出最大势能。

然后由Eq给出最佳化问题。

图1.5取向为a3b的材料和孔结构单元1.2.2固体各向同性材料的惩罚(SIMP)均匀化方法的一个直接结果，是SIMP方法的发展[1,8,11]。

它已经成为商业软件中发表和实现最多的拓扑优化方法。

这个想法是每个有限元只使用一个设计变量。

然后用方程式给出SIMP最佳化问题。

(1.4)，优化过程迭代运行。

1.2.3满应力设计FSDFsd方法是一种非常直观的尺寸和拓扑优化方法，适用于受应力和最小应变约束的结构。

Fsd的最优性准则规定:“对于最优设计，结构中每个未达到其最小应变量的构件必须在至少一个设计荷载条件下受到充分的应力，”[3]。

这个最优性准则意味着材料应该从结构中没有完全受力的部分移除，除非受到最小量规约束的限制。

但是它需要一个明确的假设，即通过增加或删除这种材料，它只会改变它们的应力，而对结构的其余部分几乎没有或根本没有影响。

以下四个步骤描述FSD方法的工作原理:1、一个结构被分成n个单元(桁架、梁或板式有限元)，给出了n个设计变量。

2、对于结构的拉伸或压缩构件，规定了允许的应力极限，可以是相同的，也可以是不同的。

3、结构中的应力通过任何方法(分析分析、有限元分析等)按当前迭代次数计算4、每个设计变量的值为下一次迭代计算使用。

5、如果结构是静定的，则方程的更新方案。

(1.5)在一次迭代中给出精确解。

或者，步骤3和步骤4是重复，直到应力收敛到一个理想的公差。

1.2.4计算机辅助形状优化(CAO)Mattheck[15]发展了CAO方法，根据结构的应力分布情况，通过体积膨胀来模拟生物生长。

膨胀过程模拟向结构中添加材料，收缩过程或负膨胀过程模拟从结构中去除材料的过程。

利用有限元分析可以很容易地得到假热应力分布[15,16]。

该方法通过对结构的分析和修改，进行了较为全面的工作。

这一过程的工作方式如下:1、定义两种结构有限元模型:a、原有的有限元模型在适当的支承和载荷下表示结构设计域;b、一个模型的热膨胀过程与一套单独的支持条件，将允许所需的膨胀，同时抑制增长到结构边界内。

它的弹性模量设定为生长层中初始值的1/400。

先前的机械负载设置为零。

只有构件的软表面层的热膨胀系数大于零。

其结果是一个软的外层，在过载区域是热的，而在轻载区域是相对冷的。

2、计算了(a)模型的应力分布。

3、应用步骤2的应力分布，计算温度分布。

4、将步骤3中的拟热载荷应用于模型，并进行了有限元热分析。

5、利用步骤4的人工膨胀引起的位移，更新了两个有限元模型的节点坐标。

为了确保这些位移只导致拓扑结构中适当的小变化，使用方程式将它们按适当的比例缩放。

6、重复步骤2至5，直到结构表面获得均匀的应力状态。

1.2.5 soft kill option SKO拓扑优化的SKO方法模拟了自适应骨矿化的过程，根据受力结构的应力分布改变其弹性模量[21]。

1.2.6渐进结构优化(ESO)Eso方法遵循的概念是，从设计领域缓慢去除低效材料将最终导致优化设计。

这个方法非常简单，既遵循了设计师的原则(消除浪费材料)，也遵循了消防处的原则。

Eso方法的工作原理如下:定义了结构的最大设计区域，并用有限元网格划分，所有的边界约束、荷载和材料支撑都被应用。

用于结构优化的标准应用:冯米塞斯应力，位移，频率或屈曲灵敏度，热等。

使用有限元分析或其他方法分析结构。

1.2.7双向ESO 【BESO】Eso方法的一个问题是它是单向的。

一旦mate-rial被移除，它就不能再被引入到域中。

解决这个问题的一个方法是允许材料被引进，或引进到设计领域。

材料引入的区域围绕着受到高度强调的要素。

这个过程非常复杂除了加法过程之外，与ESO类似。

BESO方法的工作原理如下:定义了结构的最大设计区域，并用有限元网格划分，采用所有的边界约束、荷载和材料特性。

Beso方法允许用户指定连接载荷到支承的最小有限元数，或者用有限元填充整个初始设计域。

所有未包含在初始起始域中的FE都需要存在，但需要停用，以便在以后阶段重新引入该域。

用于结构优化的标准应用:冯米塞斯应力，位移，频率或屈曲灵敏度，热等。

使用有限元分析或其他方法分析结构。

桁架结构尺寸、拓扑和几何优化的增长方法桁架拓扑优化是结构设计中的一个经典课题。

最优网格连续体的基本性质的研究是由Michell[1]提出的，现代布局理论是由Prager和Rozvany[2,3]提出的。

拓扑和尺寸优化图2.2米歇尔悬臂梁的初始磁畴图2.3米歇尔悬臂梁初始区域的最优拓扑虚线是那些由于违反结构必须是静定的约束而被删除的线。

使用正交性和最大不确定度结构优化的离散化方法Bendse和Kikuchi[1]首次将数值有限元方法应用于结构拓扑优化。

这种方法逐渐被固态各向同性惩罚微结构方法(SIMP)所取代，SIMP方法最初由bendse[2]引入，但由Zhou和Rozvany[3]独立发展。

在SIMP算法中，单元是均匀的、各向同性的，设计变量由各单元的密度(或厚度)组成，其中间值是惩罚性的。

与SIMP相对应的材料内插格式由bendse和Sigmund[4]给出。

连续结构优化法Lin和Chao[1]认为拓扑优化是形状优化的延伸。

首先对结构进行拓扑优化，然后进行形状优化。

在另一项研究[2]中，做了相反的工作，首先对形状进行优化，然后利用均匀化方法[3]进行拓扑优化，以确定材料的取向。

无论优化的顺序是什么，形状先于拓扑，反之亦然，形状依赖于材料分布，同样，材料分布依赖于形状。

由于这个原因，一种先形状后拓扑优化的迭代方法，或者反之亦然;可以证明比只使用一种方法更有效，而且只有当一种方法完成后，再使用另一种方法时，特别是如果形状或拓扑的微小变化可能对结构的行为产生重大影响时。