正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.
1.测量中正、余弦定理的应用
例1 某观测站C 在目标南偏西25︒方向，从出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在处距还有多少千米？
分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角.再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.
解：由图知，60CAD ∠=︒.
22222231202123cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===
⋅⨯⨯，
sin B =
. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B
AC A
⋅=
=.
由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅. 即2223124224cos 60AB AB =+-⋅⋅⋅︒.
整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在处距还有15千米.
评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.
2.航海中正、余弦定理的应用
A C
D 31
21
B
20
20 35︒
25︒ 东
北
例2 在海岸处，发现北偏东45︒
1海里的处有一艘走私船，在处北偏西75︒方向，
距为2海里的C
处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？
分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到所需的航行时间.
解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有
CD =，10BD t =.
在ABC △中，
∵1AB =-，2AC =，
4575120BAC ∠=︒+︒=︒，
根据余弦定理可得BC =
=
根据正弦定理可得sin120sin AC ABC BC
︒
∠=
=
=.
∴45ABC ∠=︒，易知CB 方向与正北方向垂直，从而9030120CBD ∠=︒+︒=︒. 在BCD △
中，根据正弦定理可得：sin 1
sin 2BD CBD BCD CD ∠∠=
==，
∴30BCD =︒△，30BDC ∠=︒
，∴BD BC ==，
则有10t =
，0.245t =
=小时14.7=分钟. 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.
评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.
3.航测中正、余弦定理的应用
例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为
45︒
75︒ 30︒
A
C
B
180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山
顶的海拔高度（精确到m ）.
分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM ∆和Rt BMD ∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.
解：设飞行员的两次观测点依次为和，山顶为M ，山顶到直线的距离为MD .
如图，在ABM △中，由已知，得
1830'A ∠=︒，99ABM ∠=︒，6230'AMB ∠=︒.
又120
18066060
AB =⨯
=⨯（km ）,
根据正弦定理，可得6sin1830'
sin 6230'
BM ︒=︒，
进而求得6sin1830'sin 81sin 6230'
MD ︒︒
=︒，∴2120MD ≈（m ）,
可得山顶的海拔高度为20250212018130-=（m ）.
评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.
4.炮兵观测中正、余弦定理的应用
例 4 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点C 和处，已知6000CD =米，
45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点处时，测得30BCD ∠=︒，15BDC ∠=︒
（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.
分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、、C 、可构成四个三角形.要求AB 的长，由于751590ADB ∠=︒+︒=︒，只需知道AD 和BD 的长，这样可选择在ACD ∆和BCD ∆中应用定理求解.
解：在ACD △中，18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒，
6000CD =，45ACD ∠=︒，
根据正弦定理有sin 45sin 60CD AD ︒==︒，
同
理
，
在
BCD
△中，
A B D
M
30︒ 45︒ 75︒
A
C D 15︒
180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒， 6000CD =，30BCD ∠=︒，
根据正弦定理有sin 30sin135CD BD ︒=
=︒.
又在ABD ∆中，90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒，
根据勾股定理有：AB =
=
==.
所以炮兵阵地到目标的距离为米.
评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.
5.下料中正余弦定理的应用
例5 已知扇形铁板的半径为，圆心角为60︒，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？
分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的
内接矩形，如图所示.
解：在图（1）中,在AB 上取一点，过作PN OA ⊥于N ，过作PQ PN ⊥交OB 于Q ，再过Q 作QM OA ⊥于M .
设AOP x ∠=，sin PN R x =.在POQ △中，由正弦定理，得
A
C
D
31
21 B
20 20 35︒
25︒ 东
北
sin(18060)sin(60)
OP PQ x =︒-︒︒-.∴sin(60)PQ R x =︒-.
于是[]22
sin sin(60)cos(260)cos 60S PN PQ R x x R x =⋅=
⋅︒-=-︒-︒
22
1(1)2R ≤
-=.
当cos(260)1x -︒=即30x =︒时，S 2
. 在图（2）中，取AB 中点C ，连结OC ，在AB 上取一点，过作//PQ OC 交OB 于Q ，过作PN PQ ⊥交AB 于N ，过Q 作QM PQ ⊥交CA 于M ，连结MN 得矩形MNPQ ，设
POC x ∠=，则sin PD R x =.
在POQ △中，由正弦定理得：
sin(18030)sin(30)
R R
x =
︒-︒︒-， ∴2sin(30)PQ R x =︒-.
∴[]2
2
24sin sin(30)2cos(230)cos30S PD PQ R x x R
x =⋅=⋅︒-=-︒-︒
222(1cos30)(2R R ≤-︒=（当15x =︒时取“”）.
∴当15x =︒时，S 取得最大值2(2R .
∵
2
2(2R >， ∴作30AOP ∠=︒，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.
评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.
综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.。