O
B
D
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
BC AB AC 10 6 8
2 2 2 2
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF
D A 1
C
E
O1 B
O 2
F
连结AB ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F ∠E＋∠F＝180°
B
100 O
D
C
4.四边形ABCD内接于⊙O, 45° ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
5.若ABCD为圆内接四边形，则下列 哪个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
O
（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直 径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数 是____ 90°
（2） 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB AB 是 180° 。点O在___上，弦AB是 直径 ___
九年级 数学
第24章 圆--（1）圆的概念
1°弧的概念.（圆心角的度数）
把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份这样的弧叫做1° 弧。
D
A
O
思考：⊙O的内 接四边形ABCD的 对角，在数量上 有什么关系？
C
B
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
D
∵ B A + B CD =360 ° D
∴∠A＋∠ C＝ 180°
A
O
同理∠B＋∠D＝180° B
C
推论：
圆内接四边形任意一个外角 都等于它的内对角.
思考：延长BC到E，∠DCE 与 ∠A的数量关系？ A
∠DCE＋∠1 ＝ 180° ∠A与∠DCE 又 ∠A ＋∠1＝ 180°
O
D
1
为内对角 所以∠A＝∠DCE
B
C
E
几何表达式： ∵ ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A+∠C=180° 且∠B=∠1 D A E 1
B
C
练习
1、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延 0 , B 长线与DC所夹∠2=60 120° 60° 则∠1=_____,∠B=_____.
A D 1
2
C
E
2. 四边形ABCD内接于⊙O， 180° A 则∠A+∠C=______ 180° ∠B+∠ADC=_______;
80 B 若∠B=80°， 100° 80° 则∠ADC=____ ∠CDE=______
D
E
C
A
3.如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，∠AOC=100°则 130° 50° ∠B=______∠D=______
那么每一份1° 弧。所对的圆心角的度数就是1°
结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 3.90°角所对的弦是直径（ × ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ×）
D
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 2 AB 2 2 10 5 2(cm)
课本
练 习
1 2
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= 求证： △ABC 为直角三角形.
练一练
如图已知，∠A=50°， ∠ABC=60 ° BD是⊙O的直径，求∠AEB的度数
B A E D O C
[例1] 如图，⊙O直径AB 为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，A 求BC、AD、BD的长．
C
O
B
D
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
AB
C
∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=
1 2
A
· O
B
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
练 习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少 种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
O
·
D
F C
又∵DC=BD，∴AB=AC∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
C
A 1 D
CE∥DF
O 1
E B
O 2
F
证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通 过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等 方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE ∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相 等证明结果？
1）延长EF,是否有 ∠E=∠BAD＝ ∠1 ？
D A C O1 E B O2 F
D A C O1 E B
2
1 M
2) 延长DF, 能否证明 3) ∠E＝∠２＝∠3？
O2 3 F
巩固练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形，已知∠BOD＝100°，求 ∠BAD及∠BCD的度数。 A
O
B
D
C
已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证：四边形ABCD 是矩形。 A
O
B
方法四
D
· B
A
O
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点 。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样 的关系？为什么？
A
Q O B
p
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三 角形，并说明理由。 A
思考：在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，它们所对的弧相等吗？为 什么？
在圆
o 中，
A D
弧 BC 弧 EF
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆周 角相等，它们所对的弧相等.
[推论] 半圆（或直径）所对的圆周角是 直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
C1
A C2 C3 B
探究与思考
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
6.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____ 75°
A D O B C
等腰 圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
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1、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果 ∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ） A A、115° B、130° O D C、65° D、50° B C 2、 如图，等边三角形ABC内 A
接于⊙O，P是AB上的 P ⌒ 一点，则∠APB= 。
B C
3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°, 则∠C= ° 4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且 ∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数. 5、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂直 平分ＢＤ,∠ＢＡＣ=40 °， 则∠ＢＣＤ＝ ° 6、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的 延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm,ＰＡ ＝４cm，求ＰＣ的长.