二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒单位法向和切向向量：
单位法向向量 n Ri / Ri
单位切向向量 t Vij Vij • n n Vij Vij • n n
单位切向量之所以通过两个颗粒的相对速度来计算， 是因为接触力与粘性阻尼力的方向与相对速度的方 向相同。
二基本原理球形颗粒元离散元法
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
运动描述
处于一个理想散体中的任意一个颗粒,具有6个自由 度,3个平动自由度与三个转动自由度,可通过Newton 第二定律分别描述。
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
平动方程：
mi
dVi dt
ki
Fc,ij Fd ,ij
j 1
mi g
式中，mi与 Vi 分别为颗粒 i 的质量和速度。t 为时间，
,
Fct ,ij s Fcn,ij Fct ,ij s Fcn,ij
3
Fct,ij
δt 为颗粒 i 与 j 间的累积切向位移矢量
δt N δt N1 Vij n n t
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力模型 —阻尼力 ：
Fdt,ij ct Vij n n
式中，ct 为切向粘性接触阻尼系数。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
计算模型总结
运动方程
mi g 为颗粒的重力，Fc,ij 与 Fd ,ij 分别为颗粒 i 与 j 的
接触力与粘性接触阻尼力，ki 为所有与颗粒接触的颗
粒总数。
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力的分解：
颗粒 i与 j间的接触力可分解为法向与切向接触力，即
Fc,ij Fcn,ij Fct,ij
同理，粘性接触阻尼力也可分解为法向与切向分量形 式，即
式中，
k
为法向弹簧刚度。
n
Hale Waihona Puke 二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型 —法向粘性接触阻尼力：
Fdn,ij cn Vij • n n
式中，cn为法向粘性接触阻
尼系数。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力计算模型 —综述：
处于接触中的两个颗粒的切向作用，从本质上讲，是 一种摩擦行为，按照摩擦机理，摩擦力包括：滑动摩 擦、滚动摩擦与静摩擦，其中滑动摩擦与静摩擦属于 切向摩擦力；滚动摩擦是由于法向接触应力的不均匀 分布产生的。介绍两个切向接触力模型： Coulomb准则 Mindlin与Deresiewicz切向接触力模型
Fd ,ij Fdn,ij Fdt,ij
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力产生的力矩：
颗粒间的接触力作用在两个颗粒的接触点上，而不是作 用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力Fcn,ij 外）将会对颗粒产生力矩 Ti ，
Ti Ri Fct,ij Fdt,ij
式中，Ri为从颗粒i 的质心指向接触点的矢量，其幅值为
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用Hertz理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在Hertz理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把Savkoor和Briggs理论与Mindlin和Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
岩土工程研究所
刘军
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
基本假设
假定速度和加速度在每个时间步长内为常量 ； 选取的时间步长应该足够小以至于在单个时间步长 内扰动的传播不会超过当前与之相邻的粒子 。
R（i 颗粒的半径）。
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
转动方程：
转动方程可以表示为
Ii
dωi dt
ki
Ti
j 1
式中，Ii与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于
球形颗粒 Ii为
Ii
2 5
mi Ri2
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
切向接触力计算模型 —Coulomb准则：
在离散元模拟中，一般用Coulomb准则这种简单的形 式描述，静摩擦的详细刻画需要涉及切向位移甚至可能 要考虑时间依赖效应。
Fct ,ij
Fct ,ij ,
s Fcn,ij
,
Fct ,ij s Fcn,ij Fct ,ij s Fcn,ij
式中，μs 为静摩擦系数，切向摩擦力的方向为与相对滑
动的趋势相反。
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接触模型
切向接触力模型 —Mindlin与Deresiewicz模型 ：
式中
3
Fct,ij
μs Fcn,ij δt
1
1
min
δt , δt,max δt,max
2
δt
2v
δt,max μs 2 1 v δn
接触模型
两个处于接触颗粒接触点的相对速度：
Vij V j Vi ω j R j ωi Ri
法向相对速度为
Vn,ij Vij • n n
切向相对速度为
Vt,ij Vij Vij • n n
Vt,ij Vij n n
或者写为
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接触模型
法向接触力计算模型 —Hertz模型：
式中
Fcn,ij
4 3
E*
R*
3/ n
2n
E*
E 2(1 v2 )
R* 1 1 Ri R j
δn为颗粒i与j接触时的侵入深度
n Ri R j R j Ri
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接触模型
法向接触力计算模型—
Cundall模型：
Fcn,ij kn nn
mi
dVi dt
ki
Fc,ij Fd ,ij
j 1
mi g
Ii
dωi dt
ki
Ti
j 1
接触力的计算
• 法向接触力
Fcn,ij
4 3
E*
R*
3/ n
2n
Fcn,ij kn nn
Fdn,ij cn Vij • n n
• 切向接触力
Fct ,ij
Fct ,ij , s Fcn,ij