Schmidt正交化 Schmidt正交化 及正交方阵
一. 向量的内积及其性质
1.向量内积的定义 向量内积的定义
x1 y1 x y 是两个n维向量 设 X = 2 , Y = 2 是两个 维向量 M M xn yn
令 < X, Y > = ∑ xi yi = XT Y
i =1 n
之间的距离. 称||X – Y||为X与Y之间的距离 为 与 之间的距离
(4) < X,Y > ≤ X Y
证明： 显然函数f(t) ≥ 0且 证明： 令 f(t) = <X+tY, X+tY>， ， 显然函数 且 f(t) = <X, X+tY> + <tY, X+tY> = <X, X> + t<X, Y> + t<Y, X> + t2<Y, Y> = ||X||2 + 2t<X, Y> + t2||Y||2 从而有： < X, Y > 4 X 从而有： 4
β3 = α3
1
β1
2
< α 3 , β 1 )β 1
1
β2
2
< α 3 , β 2 )β 2
0 1 1 4 1 0 3 3 2 4 = 1 = 1 3 1 15 2 5 3 1 1 1 1
1 1 4 0 3 3 1 1 1 ω1 = ,ω2 = ,ω3 = 3 1 15 2 35 3 1 1 1
m i =1
= ∑ λi < α j ,α i > = λ j
i =1
m
j = 1,2,L , m
2. Schmidt正交化过程 正交化过程 定理3 定理 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定 是 的一个非零子空间， 一定 有标准正交基 .
证明： 的一组基。 证明：设α1, α2, …, αm是V的一组基。 的一组基
定义: 是一个正交矩阵， 定义 若A是一个正交矩阵，则称线性变换 是一个正交矩阵 Y=AX为正交变换。 为正交变换。 为正交变换 正交变换有如下性质： 正交变换有如下性质：设Y1=AX1, Y2 = AX2 1. <Y1, Y2> = <X1, X2> 2. || Y1|| = || X1|| 3. Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角 之间的夹角等于
1 例４ 已知 a 1 = 1 , 求一组非零向量 a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交 . , a 3 应满足方程 aT x = 0,即 1 解 a2
x1 + x 2 + x 3 = 0.
它的基础解系为 1 0 ξ 1 = 0 ,ξ 2 = 1 . 1 1
把基础解系正交化，即合所求． 把基础解系正交化，即合所求．亦即取
[ξ 1 ,ξ 2] ξ 1. a2 = ξ 1 , a3 = ξ 2 [ξ 1 ,ξ 1]
其中[ξ 1 ,ξ 2] = 1,[ξ 1 ,ξ 1] = 2, 于是得
1 0 1 1 a2 = 0 , a3 = 1 0 = 1 1 2 1
= < α s +1 , ω j > < α s +1 , ω j > < ω j , ω j > = 0
显然, 显然 ω1, ω2, …, ωs, ωs+1是两两正交的单位向 等价. 量,并且该向量组与α1, α2, …, αs, αs+1等价 并且该向量组与 经过若干次后我们就可以得到V的一组标准 经过若干次后我们就可以得到 的一组标准 正交基ω1, ω2, …, ωm。
则 0 = <αj, λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm> = λj <αj, αj> 又||αj||2 > 0, 所以λj = 0, j = 1, 2, …, m 从而α1, α2, …, αm线性无关 证毕
二. 向量空间的标准正交基
1.标准正交基的定义及其性质 标准正交基的定义及其性质 定义:设 是一个向量空间 是一个向量空间， 定义 设V是一个向量空间，α1, α2, …, αm是 V的一组基，若满足： V的一组基，若满足： 的一组基 1）α1, α2, …, αm两两相互正交 ） 2）||αj|| = 1, j = 1, 2, …, m ） 是向量空间V的一组标准正 则称α1, α2, …, αm是向量空间 的一组标准正 交基. 交基
的维数等于m， 以及ω∈V，V的维数等于 ，推知γ = β ， 的维数等于 在向量空间V中的正交投影是唯一的 中的正交投影是唯一的。 即, α在向量空间 中的正交投影是唯一的。 定理5 定理 设V是Rn的一个非平凡的子空间，α∈Rn， 是 的一个非平凡的子空间， β是α在向量空间 中的正交投影向量，则对于 在向量空间V中的正交投影向量 中的正交投影向量， V中的任何一个向量ξ，只要ξ ≠ β，就有：||α 就有： 中的任何一个向量 β|| < ||α - ξ|| 在向量空间V中的正交投影向量 中的正交投影向量， 设 证明： 证明： β是α在向量空间 中的正交投影向量， 则对于V中的任何一个向量 就有： 则对于 中的任何一个向量ξ，只要ξ ≠ β，就有： ||α - ξ||2 = ||(α - β) + (β - ξ)||2 = ||α - β||2 + ||β - ξ||2
2 2
Y ≤0
2
即 < X,Y > ≤ X Y
证毕
< X, Y > 称 θ = arccos 为向量X与之间的夹角 与之间的夹角. 为向量 与之间的夹角 X Y < X,Y > 即 cosθ = ,特别 X ⊥ Y < X,Y > = 0 特别 X Y
4. 范数的性质 (5) ||X|| ≥ 0, 且 ||X|| = 0 X = 0
> ||α - β||2. 即：||α - β|| < ||α - ξ||
证毕
三. 正交方阵及其性质
定义： 是一个n阶方阵 则称A为 定义：设A是一个 阶方阵，若ATA = En则称 为 是一个 阶方阵， 一个n阶正交矩阵 阶正交矩阵。 一个 阶正交矩阵。 1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置 是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置 矩阵是一个正交矩阵。 矩阵是一个正交矩阵。 2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的 个 是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个 是一个正交矩阵的充分必要条件是它的 列向量构成了R 的一个标准正交基. 列向量构成了 n的一个标准正交基 3. 若A是一个正交矩阵，则|A|2 = 1 是一个正交矩阵， 是一个正交矩阵
定理2 是向量空间V的一组标准 定理 若α1, α2, …, αm是向量空间 的一组标准 正交基， 正交基，β = λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm是V中 中 的一个向量， 的一个向量，则λj = <β, αj>, j = 1, 2, …, m 证明： 证明：< α j , β > = < α j , ∑ λiα i >
k =1 m
则<α - β, ωj> = <α, ωj> - <β, ωj> = <α, ωj> - <α, ωj> = 0， ， 说明向量α - β与V的标准正交基ω1, ω2, …, ωm中 的标准正交基 的任何一个向量皆正交， 的任何一个向量皆正交， 从而与V中的任何一个向 从而与 中的任何一个向 量皆正交。 量皆正交。 β是向量α在向量空间 中的正交投影 在向量空间V中的正交投影 故 向量。 向量。 在向量空间V中的正交投影向量 中的正交投影向量， 若γ也是向量α在向量空间 中的正交投影向量， 由于: 由于 <β - γ, ωj> = <α - γ, ωj> + <β - α, ωj> = 0，j = 1, 2, …, m， ， ，
= X + Y
2
2
定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。 定理 非零的正交向量组必然是线性无关的。 非零的正交向量组必然是线性无关的 证明： 证明：设α1, α2, …, αm是一组两两相互正交的非 零向量. 是一组数， 使得 零向量 λ1, λ2, …, λm是一组数，
λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm = 0
k =1
< α3 , βk >
βk
2
β3 β k ,ω3 = β3
ω2 ω1
是两两正交的单位向量, 设ω1, ω2, …, ωs, s < m,是两两正交的单位向量 是两两正交的单位向量 等价. 并且该向量组与α1, α2, …, αs等价 取 β s + 1 = α s + 1 ∑ < α s +1 , ω k > ω k
= α s +1 ∑
ks 1 = s
< α s +1 , β k >
2
β s +1 ω s +1 = β s +1
k =1
βk ; 当 j = 1, 2, …, s 时,
s k =1
βk
< β s+1 ,ω j > = < αs+1 ,ω j > ∑< αs+1 ,ωk > < ωk ,ω j >
i =1 n
是向量X和向量 的内积。 称<X, Y>是向量 和向量 的内积。 是向量 和向量Y的内积
2. 内积的性质 (1) <X, Y> = <Y, X> (2) <λX, Y> = λ< X, Y> λ (3) <X+Y, Z> = <X, Z> + <Y, Z> 3. 向量的范数 称 范数), xi 2 为向量 的长度 (范数 记为 ∑ 为向量X的长度 范数 记为||X||