矩阵的可逆性与逆矩阵的求法目录摘要 (1)第1章．矩阵 (2)1.1矩阵的定义 (2)1.2矩阵的运算 (2)第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5)2.1矩阵的基本概念 (5)2.2矩阵可逆的判断方法 (6)2.3矩阵可逆性的求法 (10)第3章．逆矩阵的拓展 (17)3.1广义逆矩阵的引入 (17)3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17)第4章．总结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)附件：论文英文简介矩阵的可逆性与逆矩阵的求法[摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。

在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组BAX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。

本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。

[关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。

本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。

逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。

对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。

第1章 矩 阵1.1矩阵的定义定义1由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛st s s t t c c c c c c c c c212222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。

定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：)(i 交换矩阵的两行（列）；)(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素；)(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。

矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。

1.2矩阵运算定义1数域F 的数a 与F 上一个n m ⨯矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ⨯矩阵)(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。

定义2两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ⨯矩阵)(ij ij b a +，求两个矩阵的和的运算叫作矩阵的加法。

要注意，我们只能把行数与列数都对应相同的两个矩阵相加。

由定义1和2，容易推出以下规律：AB B A +=+)()(C B A C B A ++=++ AO B O +=+aB aA B A a +=+)( aB aA A b a +=+)(A ab bA a )()(=这里C B A ,,表示任意n m ⨯矩阵，而a 和b 表示F 中的任意数。

定义3数域F 上n m ⨯矩阵)(ij a A =与p n ⨯矩阵)(ij b B =的乘积AB 指的是一个pm ⨯矩阵，这个矩阵的第i 行第j 列的元素ij c 等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和：njin j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ，，，21=，p j ,,2,1 = 矩阵的乘法的结合律：)()(BC A C AB =矩阵的乘法和加法满足分配律：AC AB C B A +=+)(CABA A C B +=+)(矩阵的乘法和数域矩阵的乘法：)()()(aB A B aA AB a == 特别注意：矩阵的乘法不满足交换律。

一个n 阶方阵A 的r 次方有意义：个r rA AA A =我们再约定I A =0定义4 设n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211把A 的行变为列所得到的m n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn nnm m a a a a a a a a a A212221212111叫作矩阵A 的转置。

矩阵的转置满足以下规律：A A TT=)(TTTBAB A +=+)(TTTA B AB =)(TTaAaA =)(第2章 矩阵的可逆性及逆矩阵2.1矩阵的基本概念定义令A 是数域F 上一个n 阶矩阵。

若是存在F 上n 阶矩阵B ，使得IBA AB ==那么A 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵。

下面的几个概念有助于对矩阵可逆性及逆矩阵求法理解：（1）设)1(>n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211以下等式成立：⎩⎨⎧≠==+++;,,,det 2211j i o j i A A a A a A a jn in j i j i 若若⎩⎨⎧≠==+++;,,,det 2211j i o j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若这里st A 是行列式A det 中元素st a 的代数余子式。

由此 若是设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212222111211*那么I A A A AA A AA )(det det 000det 000det **=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==我们把矩阵*A 叫作矩阵A 的伴随矩阵。

（2）初等矩阵：对n 阶单位矩阵I 做一次初等变换所得到的矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(kk D i⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(k k T ij 将这三种方阵叫作初等矩阵。

通过验算容易看出初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等矩阵。

2.2矩阵可逆性的判断方法依照不同的方式和性质，可以从下列几方面来判断矩阵的可逆性：（1）n 阶矩阵A 可逆当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。

证明：A 可以通过初等变换化为单位矩阵I ，就是说，I 可以通过初等变换化为A ，也就是说，存在初等矩阵t s s E E E E ,,,,,11 +，使ts s t s s E E E E E IE E E A 1111++==这是由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵的性质推出的。

例1．用初等矩阵表示下面的方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400222654A 解：根据左行右列的规律：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001065410010001100010654⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10022265410001065410010012121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400222654100222654400010001 故矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100100011000106541010014000100012121A （2）若矩阵行列式A det 不为零，则其矩阵A 可逆。

证明：将矩阵A 分解为ts s E E A E E A 101+=其中t s s E E E E ,,,,,11 +是初等矩阵，由初等矩阵的性质可以知道，0det ≠i E 及矩阵乘积的行列式等于其各自行列式的乘积 及得0)det()det()det()det()det()det(101≠=+t s s E E A E E A ，所以矩阵行列式A det 不为零时，其矩阵A 可逆。

综上所述：行列式A det 不为零，则其矩阵A 可逆。

例2．判断下列矩阵是否可逆。

（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5131A（2） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000320321B 解：（1） 02355131det ≠=-==A ，所以A 可逆。

（2） 00000000320321det =---++==B ，所以B 不可逆。

（3）含有n 个坐标的n 个向量组成的方阵A ，若这n 个向量线性无关，则这个方阵A 是可逆。

证明：设n 个向量分别是1α，2α，…，n α 且 ()()nnn n n n a a a a a a21112111,,==αα，则 这n 个向量构成了一个n 阶方阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211将矩阵A 化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000100001若其中有一个或者一个以上的0，则向量n ααα,,,21 ，可以化为 ++=2211αααk k kn n a k +即n ααα,,,21 向量是线性相关的一个矩阵。

与条件相矛盾。

即矩阵A 可以化为单位矩阵，所以方阵可逆。

例3． 令F 是任意的一个数域。

3F 中判断向量()()()8,0,0,0,4,0,3,2,1321===ααα的相关性，由此判断其构成的矩阵A 的可逆性。

解：设存在F c b a ∈,,，使得()0,0,0321=++αααc b a即 ()()()()0,0,08,0,00,4,03,2,1=++c b a因而有0,0,0===c b a ，则321,,ααα线性无关。

则表明321,,ααα中得任意一个都不能被另外两个表示。

则其构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000100001通过化简后每一行或列都含有一个数，及其行列式不为零。

（4）设一个齐次线性方程组的系数矩阵A 是一个方阵，若此齐次线性方程组仅有零解，则我们可以判定这个方阵A 可逆。

证明：矩阵来表示n 个n 元齐次方程组： 0=AX因为齐次线性方程组的变换中只有行变换，故不改变系数矩阵的可逆性。

而只有零解使其行列式的秩等于其行数和列数。

一个方阵构成的线性方程组若只有零解，则这个矩阵A 可逆；若其有非零解，则矩阵A 不可逆。

例4． 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=900840632A 是一个齐次线性方程组系数矩阵，证明矩阵A 可逆。

证明：构造齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=++090840632332321x x x x x x 化简后得，⎪⎩⎪⎨⎧===000321x x x 即此齐次方程组只有零解，故矩阵A 可逆。

我们常常用方阵来解线性方程组，这种转换的方式可以使我们更好的理解矩阵的实质。

（5）设A 与B 都是n 阶矩阵，证明：若AB 可逆，则A 和B 都可逆；反之也对。