函数的概念及其性质（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A ．B ．0C ．1D ．23．函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是（ ）5．已知定义在上的函数为偶函数，且满足，若，，则（ ） A ．2B ．4C ．D ．1ln x y x-=()0,+∞()1,+∞()(),11,-∞+∞()()0,11,+∞()f x 0x >()21f x x x=+()1f -=2-2112y x x x ⎛⎫=+≤- ⎪⎝⎭7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭R ()f x ()()5f x f x -=()24f =()62f =()()74f f -=2-4-6．若，则（ ）． A ．2 B ．8C ．D ．7．函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ） A ．4B ．6C ．D ．59．已知函数是偶函数，在上单调递减，则（ ） A ． B ． C ．D ．10．若定义在上的函数满足：对任意，，有，则下列说法一定正确的是（ ） A ．为奇函数B ．为偶函数C ．为奇函数D ．为偶函数11．已知定义在的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）A ．在区间上是增函数，在区间上是增函数B ．在区间上是增函数，在区间上是减函数C ．在区间上是减函数，在区间上是增函数D ．在区间上是减函数，在区间上是减函数12．定义在上的偶函数在上递减，且，则满足的的集合为（ ）()()2,22,2xf x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩()3=f -18122211x x y x x -+=++(]1,11,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,33⎛⎫⎪⎝⎭3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()f x R 0x ≥()32x f x x m =-+()2f -=4-()y f x =()2y f x =-[]0,2()()()012f f f <-<()()()102f f f -<<()()()120f f f -<<()()()210f f f <-<R ()f x 1x 2x ∈R ()()()12121f x x f x f x +=++()f x ()f x ()1f x +()1f x +R ()f x ()()2f x f x =-()f x []1,2()f x []2,1--[]3,4[]2,1--[]3,4[]2,1--[]3,4[]2,1--[]3,4R ()y f x =[)0,+∞102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭14log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭xA ．B ．C ．D ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．若函数是奇函数，则实数的值为________．14．已知的解析式为__________．15．已知函数的值域为，则函数的值域为_________．16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，；则①2是函数的周期；②函数在上是减函数，在是上是增函数；③函数的最大值是1，最小值是0；④当时，；其中所有正确命题的序号是___________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）讨论函数的单调性．()2,+∞10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫⎪⎝⎭()()()11ax x f x x++=a )1fx =+()f x ()f x 34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =()f x R x ∈R ()()11f x f x +=-[]0,1x ∈()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ()f x (1,2)(2,3)()f x (3,4)x ∈31()()2x f x -=()(0)af x x a x=+>18．（12分）设直线是函数的图象的一条对称轴，对于任意，，当时，．（1）证明：函数是奇函数；（2）当时，求函数的解析式．1=x )(x f x ∈R )()2(x f x f -=+11≤≤-x 3)(x x f =)(x f ]34,14[++∈k k x ()k ∈Z )(x f19．（12分）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过3500元的部分不纳税，超过3500元的部分为全月税所得额，此项税款按下表分段累计计算：（1）已知张先生的月工资，薪金所得为10000元，问他当月应缴纳多少个人所得税？ （2）设王先生的月工资，薪金所得为，当月应缴纳个人所得税为元，写出与的函数关系式；（3）已知王先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少？20．（12分）设函数．（1）若为上的奇函数，求的值；x y y x e ()1e x xa f x -=+()a ∈R（2）若在上为减函数，求的取值范围．21．（12分）定义在上的增函数对任意，都有． （1）求证：为奇函数；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）设函数，()，对于，总存在，使成立，求实数的取值范围．)(x f R a R )(x f y =x y ∈R )()()(y f x f y x f +=+)(x f x ∈R 0)193()3(≤--+⋅xxxf k f k x x x f 2)(2-=2)(+=ax x g a ∈R ]2,1[1-∈∀x ]2,1[2-∈x )()(21x g x f =a函数的概念及其性质答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】函数，，解得，且，所以函数的定义域为，故选D ．2．【答案】A【解析】，故选A ． 3．【答案】D【解析】函数在为单调递减函数，当，时，无最大值，所以值域为，故选D ．4．【答案】D【解析】∵纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，∴当时，纵坐标表示家到学校的距离，不能为零，故排除A ，C ；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，∴刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D ． 5．【答案】A【解析】∵，∴，又为偶函数， ∴，即函数是周期为5的周期函数，∴，故选A ． 6．【答案】C【解析】由题设得，，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵的定义域为，∴方程有解，当时，，故可取1，当时，， 即，解得，∴函数的值域为，故选B ．8．【答案】C【解析】∵为定义在上的奇函数，∴，即，∴，1ln x y x -=ln 00x x ≠⎧∴⎨>⎩0x >1x ≠1ln x y x-=()()0,11,+∞()()[]11112f f -=-=-+=-x x y 12+=⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,21-=x 47min -=y 7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭0t =()()5f x f x -=()()()555f x f x f x +=-+=-⎡⎤⎣⎦()f x ()()5f x f x +=()f x ()()()()()()()()74212126422f f f f f f f f -=--=-=-=-=()()()()()()()31332112112328f f f f f f f --=-+=-=-+==+===2211x x y x x -+=++R ()()21110y x y x y -+++-=1y =0x =y 1y ≠()()()214110y y y ∆=+---≥231030y y -+≤133y ≤≤1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x R ()00f =0030m =-+1m =-故当时，，∴， ∵为奇函数，∴，故选C ． 9．【答案】A【解析】∵在上单调递减，∴在上单调递减， 又函数是偶函数，∴在单调递增，则， 又∵，∴，故选A ． 10．【答案】C【解析】令，则，∴，则， 则，则， 即，∴为奇函数，故选C ． 11．【答案】B【解析】∵函数是偶函数，而区间与区间关于原点对称，且在区间上是减函数，∴函数在区间上是增函数，又，即函数是周期为2的周期函数，∴函数在区间上的单调性与在区间上的单调性一致，即函数在区间上是减函数，故选B ． 12．【答案】C【解析】由偶函数在上递减，且得，函数在上单调递增，且，∴由得，或，解得或，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】 【解析】，， 0x ≥()321x f x x =--()223414f =--=()f x ()()224f f -=-=-()2y f x =-[]0,2()y f x =[]2,0-()y f x =()y f x =[]0,2()()()012f f f <<()()11f f -=()()()012f f f <-<0x =()()0201f f =+()01f =-()010f +=()()()()011f f x x f x f x =-=+-+=-()()110f x f x +-++=()1[()1]f x f x -+=-+()1f x +()f x []2,1--[]1,2()f x []1,2()f x []2,1--()()2f x f x =-()f x ()f x []3,4[]1,2()f x []3,4()y f x =[)0,+∞102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()y f x =(),0-∞102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭141log 2x >141log 2x <-102x <<2x >1-()()()21111ax a x f x ax a xx +++==+++()()11f x ax a x-=--++函数是奇函数，，．14．【答案】 【解析】，视为自变量，则． 15．【答案】【解析】∵函数的值域为，∴，则，∴；令，且； ∴，， 由二次函数的图象知，当时，单调递增；∴，，故函数的值域为．16．【答案】①②④【解析】由得，， ∴是函数的一个周期；∵函数是定义在R 上的偶函数， 且当时，，∴函数的简图如图所示，由图可知，②④也正确．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】见解析． 【解析】函数的定义域为， ()f x ()()()210f x f x a ∴+-=+=1a ∴=-()()211f x x x =-≥))2211111fx =++-=-11≥1()()211f x x x =-≥77,98⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦()3489f x ≤≤()111294f x ≤-≤1132t 11,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2112f x t =-()()221111122y t t =-+--+11,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21112y t =--+2min11711239y ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭2max 11711228y ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭()y f x =77,98⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)(1)f x f x +=-(2)(11)(11)()f x f x f x f x +=++=+-=2()f x ()f x [0,1]x ∈11()()2xf x -=()f x ()af x x x=+(,0)(0,)-∞+∞∵，∴函数为奇函数． 先讨论在上的单调性；设，则， 当时，恒有，∴， 故函数在上是减函数；时，恒有，∴， 故函数在上是增函数；∵函数为奇函数，∴函数分别在，上是增函数； 在，上是减函数．18．【答案】（1）见解析；（2），．【解析】（1）∵直线是函数的图象的一条对称轴，∴． 又∵，∴．∴函数是奇函数．（2）设，则，∵，∴，∵，∴函数是以为周期的周期函数．设，则，∴，． 19．【答案】（1）745元；（2）； ()()()a a f x x x f x x x-=--=-+=-()f x ()f x (0,)+∞120x x <<1212121212()()()(1)a a a f x f x x x x x x x x x -=+--=--120x x <<≤121a x x >12()()0f x f x ->()f x 12x x <<121a x x <12()()0f x f x -<()f x )+∞()f x ()f x (,-∞)+∞[0)3)24()4()(---=-=k x k x f x f ()k ∈Z 1=x )(x f )()2(x f x f -=+)()2(x f x f -=+)()(x f x f -=-)(x f ]3,1[∈x ]1,1[2-∈-x )()2(x f x f -=+)2()(--=x f x f 3)2(--=x ]2)2[()4(++=+x f x f )2(+-=x f )(x f =)(x f 4]34,14[++∈k k x )(Z k ∈]3,1[4∈-k x 3)24()4()(---=-=k x k x f x f k ∈Z ()()()0,0350035003%,3500500045500010%,50008000345800020%,800012500x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩（3）7580元．【解析】（1）赵先生应交税为(元)．（2）与的函数关系式为： ． （3）李先生一月份缴纳个人所得税为303元，故必有，从而，解得元，所以李先生当月的工资、薪金所得为7580元．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）为上的奇函数，∴，∴． 当时，，． ∴．当的值为时，为上的奇函数．（2）任取，，设，则 ， 在上为减函数，∴，即． ，，，．∴，． ∴的取值范围为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）令，得，即．令，得，又，∴对任意都成立．∴为奇函数．15003%300010%200020%745⨯+⨯+⨯=y x ()()()0,0350035003%,3500500045500010%,50008000345800020%,800012500x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩50008000x <≤()30345500010%x =+-⨯7580x =1=a 1->a e ()1e x x a f x -=+R 00e (0)1e a f -=+0=1=a 1=a 1e ()1e x x f x -=+1e ()1e x x f x ----=+(1e )e e 1(1e )e e 1x x x x x x ----===++)(x f -=-)(x f )(x f -a 1)(x f R 1x 2x ∈R 1x <2x =-)()(21x f x f 1212e e 1e 1e x x x x a a ---++122112(e )(1e )(e )(1e )(1e )(1e )x x x x x x a a -+--+=++212112(e e )(e e )(1e )(1e )x x x x x x a -+-=++2112(1)(e e )(1e )(1e )x x x x a +-=++ )(x f R )()(21x f x f >2112(1)(e e )0(1e )(1e )x x x x a +->++ 12x x >21e e x x >11e 0x +>21e 0x +>01>+a 1->a a 1->a 1≤k 0==y x )0()0()00(f f f +=+0)0(=f x y -=)0()()()(f x f x f x x f =-+=-0)0(=f )()(x f x f -=-x ∈R )(x f（2）为奇函数，∴ ．为上的增函数，∴．∴． ，∴． 22．【答案】见解析．【解析】由题意，函数在上的值域是函数在上值域的子集．易知．函数在上的值域是．当时，函数在上的值域为， 满足，解得． 当时，函数在上的值域为，满足，解得． 综上所述，实数的取值范围为或．)(x f 0)193()3(≤--+⋅x x x f k f )193()3(---≤⋅⇔xx x f k f )139()3(+-≤⋅⇔x x x f k f )(x f R 1393+-≤⋅x x x k 1313-+≤x x k 131321313-⋅≥-+xx x x 112=-=1≤k x x x f 2)(2-=]2,1[-∈x 2)(+=ax x g ]2,1[-∈x 0≠a x x x f 2)(2-=1)1(2--=x ]2,1[-∈x ]3,1[-0>a 2)(+=ax x g ]2,1[-∈x ]22,2[+-a a a 21223a a -≤-⎧⎨+≥⎩3≥a 0<a 2)(+=ax x g ]2,1[-∈x ]2,22[a a -+a 23221a a -≥⎧⎨+≤-⎩23-≤a a 23-≤a 3≥a。