y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数f ( x) x 在[1 ， 2] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A

2 2 1
x dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
积零为整
取极限
精确值——定积分
定积分的几何意义：

2
x

2


2
f ( x)dx A2 A1 0
练习：
利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． sin xdx
2 0

2）. 1
2
x 2 dx
1）． sin xdx 0
0
利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：
2
2）.

0
sin xdx 2 2 sin xdx
A5 A4
b x
三、定积分的基本性质
性质1：
被积函数的常数因子可以提到积分号外

b
a
kf(x)dxk f ( x)dx， (k为常数）
a
b
性质2：
b b b [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) dx a a a g ( x)dx
函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）
练习
2 及x轴所围成 x 1 , x 3 y x 1 与直线 1. 由曲线
的曲边梯形的面积，用定积分表示为 2.

3 1
( x 2 1)dx

2
2
sin 3tdt 中，积分上限是 2
[-2,2] 0
2
-2 积分下限是________
积分区间是 3.定积分

2
( x 2 1)dx
( 3) 取极限
例1 利用定积分的定义 , 计算 x dx的值.
3 0
1

1
0
1 1 1 x dx lim S n lim 1 . n n 4 n 4
3
2
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
性质3：对调定积分上下限，改变符号

b
a
f ( x)dx b f ( x)dx
a
当a=b时

a
a
f(x)dx 0
性质4：（积分的可加性）
对任意的c，则一定有 b f ( x)dx c f ( x)dx b f ( x)dx a a c
例1 利用定积分的定义 , 计算 x dx的值.
注 意
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
4．规定：

b
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
a

a
a
f ( x)dx 0
二、定积分的几何意义
y
y f ( x)
f ( x ) 0,
0
试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y y=x2 y y=f(x)
y=g(x)
0 1 2
x
0 a
b x
例4 计算积分

1
0
1 x dx
2
解：由定积分的几何意 义知，该积分等于
曲 线y 1 x 2 , x轴 ，x 0及x 1所 围 的面积（见下图）
面积值为圆的面积的
1 4
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通 过“四步曲”: 分割---近似代替---求和---取极限得到解决.
小矩形面积和 S f ( i )x
i 1 i 1 n n
ba f ( i ) . n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分， 记作
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
2 解： （4）在图④中，被积函数f ( x) ( x 1) 1在[1 ， 2]
上连续，且在 [ 1 ， 0]上f ( x) 0, 在[0， 2]上f ( x) 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A [( x 1) 1]dx [( x 1) 1]dx
积分区间
.
练 习 题
如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值：
(1)

2 0
cos xdx
1
A
-1
3
π
A
5
A
2π
4
(2)
2π 0

1 1
x dx
cos xdx A3 ( A4 ) A5 A3 A5 ( A3 A5 ) 0

1 1
1 x dx 2 A 2 11 1 2
我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分，
记为
积分上限
f ( i )xi a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
积分和
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注 意
1.
f ( x)dx 与
y f ( x)
b
x
积分上限

积分下限
b
a
ba f ( x)dx lim f ( i ). n n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
也不论在小区间[ xi 1 , xi ] 上 点 i 怎样的取法， 怎样的分法，
只要当 0 时， 和 S 总趋于确定的极限I ，

b
a
f ( x )dx,
b a
即
ba f ( x)dx lim f ( i ). n n i 1
n
定积分的定义：

b
a
ba f ( x)dx lim f ( i ). n n i 1
n
定积分的相关名称： ———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， O a a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
4. y f ( x) 在 a, b 上连续，则定积分

A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关

b
a
f ( x)dx 的值 A
小
结
定积分的实质：特殊和式的极限． 定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
b a
b
a
f ( x)dx
的差别
f ( x)dx 是 f ( x) 的全体原函数
是函数
是一个确定的常数

f ( x)dx是一个和式的极限
n i
2 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1
i
点的取法无关。
3
1
解 令f x x .
3
0
0,1上等间隔地插入 (1) 分割 在区间 n 1分点,
i 1 i 0,1等分成n个小区间 , (i 1,2, , 把区间 n n i i 1 1 n), 每个小区间的长度为 x . n n n
i ( 2) 近似代替、作和 取 i i 1,2, , n , n 3 n n 1 i i 1 则 f x dx S n f x 0 n n i 1 i 1 n 2 n 1 1 1 1 1 2 3 2 4 i 4 n n 1 1 . n i 1 4 n n 4
0 1 2 2 0 2
例3：
利用定积分的几何意义说明等式

2

2
sin xdx 0
y f(x)=sinx
成立。
解： 在右图中，被积函数f ( x) sin x
在[

， ]上连续，且在 [ ， 0]上 2 2 2



2
1
A1 -1
A2
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
y
所以
1
0
1 x dx
2

4
1 x
练 习 题
一、 填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， n
0 即 f ( x )dx _________________ . i 1
b
lim f ( i )x i
被积函数
a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 积分变量 _________ 的记法无关 . 围成的各个部分面积的代数和 . 3、定积分的几何意义是_______________________ b 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ . a dx